Урок 8. Лінійне рівняння з двома невідомими

среда, 20 июля 2016 г.

Урок 8. Лінійне рівняння з двома невідомими

Рівняння з двома змінними – це рішення системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими із парою чисел (х, у). Якщо підставити ці числа рівняння системи, кожне з рівнянь системи звертається у правильне рівність.

Розв'язання рівняння із двома змінними.

Розглянемо рівняння з двома змінними f(х; у) = 0. Пару значень змінних, що обертає рівняння з двома змінними у правильну рівність, називають розв'язком рівняння. Якщо дано рівняння з двома змінними х і у, прийнято у запису його рішення перше місце ставити значення змінної х, але в друге – значення у.

Так пари (10; 0), (16; 2), (–2; –4) є рішеннями рівняння

х – 3у = 10.

У той же час пара (1; 5) рішенням рівняння не є.

Це рівняння має інші рішення. Для їх відшукання зручно виразити одну змінну через іншу, наприклад х через у, отримавши рівняння

х = 10 + 3у.

Вибравши довільне значення, можна обчислити відповідне значення х. Наприклад, якщо у = 7, то

х = 10 + 3 ∙ 7 = 31,

отже, пара (31; 7) є розв'язком рівняння, якщо у = –2, то

х = 10 + 3 ∙ (–2) = 4,

отже, пара (4; –2) також є рішенням заданого рівняння.

Рівняння з двома змінними називають рівносильними, якщо вони мають одні й самі рішення (або обидва не мають рішень).

Лінійне рівняння із двома змінними.

Рівняння з двома змінними, яке після розкриття дужок та приведення подібних членів набуває вигляду

аx + by = c,

де a і b – числа, які не дорівнюють нулю, називається лінійним рівнянням першого ступеня з двома змінними.

a і b називають коефіцієнтами за змінних, с – вільним членом.

Приклади лінійних рівнянь із двома змінними.

5х – 2у + 3 = 2х + у – 1;

8х – 1,3у = 15;

0,4х + 0,7у = 3,4;

у = 4х – 9.

Рішенням рівняння з двома змінними називається впорядкована пара значень змінних (х, у), що обертає це рівняння у тотожність.

Будь-яка пара допустимих значень х і у, яка задовольняє рівняння, називається розв'язком цього рівняння.

ПРИКЛАД:

Значення х = 1, у = 14 – одне рішення рівняння:

х + у = 15.

Одне рівняння з двома змінними першого степеня у безлічі дійсних чисел має безліч рішень. Так, у рівнянні змінна х може набувати будь-якого значення і для кожного з них є відповідне значення у, наприклад:

х₁ = 1, у₁ = 14;

х₂ = 2, у₂ = 13;

х₃ = 100, у₃ = –85 и т. д.

Таке рівняння може не мати рішень

(0х + 0у = 5).

Властивості рівняння із двома змінними.

Рівняння з двома змінними, що мають одні й самі рішення, називаються рівносильними.

Рівняння з двома змінними, які мають рішень, так само вважаються рівносильними.

Рівняння першого ступеня з двома змінними мають ті самі властивості, що й рівняння з однією змінною.

Дві частини рівняння з двома невідомими можна помножити або розділити на одне і теж відмінне від 0 число, то вийде рівняння рівносильне даному.

Будь-який член такого рівняння можна перенести з однієї частини рівняння до іншої, замінивши його знак на протилежний. В результаті отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Використовуючи їх, кожне таке рівняння можна звести до стандартного виду (тобто до виду аx + by = c).

ПРИКЛАД:

Звести до стандартного вигляду наступне рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Щоб позбавитися дробів у рівнянні, помножимо обидві його частини на 12.

84 + 3(х – 3у) = 24х – 4(у + 5).

Розкриємо дужки та зведемо подібні члени.

84 + 3х – 9у = 24х – 4у – 20,

3х – 9у – 24х + 4у = – 20 – 84,

–21х – 5у = –104, 21х + 5у = 104.

ПРИКЛАД:

Дано рівняння

3х + 4у = 20,

рішенням якого є пара чисел (4; у). Знайдіть значення у.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки рішенням рівняння є пара чисел (4; у), це означає, що х = 4. Підставимо значення х до рівняння:

3 ∙ 4 + 4у = 20,

12 + 4у = 20,

4у = 20 – 12,

4у = 8, у = 2.

ПРИКЛАД:

Розв’язком якого з рівнянь є пара чисел (–1; –1) ?

х² + у² = 2,

0х – 0у = 15,

2х – 5у = 1,

7х + 0у = 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Підставимо у кожне рівняння значення х = –1 и у = –1.

(–1)² + (–1)² = 1 + 1 = 2,

0 ∙ (–1) – 0 ∙ (–1) = 0 + 0 ≠ 15,

2 ∙ (–1) – 5 ∙ (–1) = –2 + 5 ≠ 1,

7 ∙ (–1) + 0 ∙ (–1) = –7 + 0 ≠ 2.

ВІДПОВІДЬ: пара чисел (–1; –1) є розв’язком рівняння х² + у² = 2

ПРИКЛАД:

Яка пара чисел

(2; 1), (14; –9), (4; –3), (6; 5)

є розв’язком рівняння

2х – 3у = 1 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Підставимо кожну пару чисел у дане рівняння:

2 ∙ 2 – 3 ∙ 1 = 4 – 3 = 1,

2 ∙ 14 – 3 ∙ (–9) = 28 + 18 ≠ 1,

2 ∙ 4 – 3 ∙ (–3) = 8 + 9 ≠ 1,

2 ∙ 6 – 3 ∙ 5 = 12 – 15 ≠ 1.

ВІДПОВІДЬ: пара чисел (2; 1) є розв’язком рівняння 2х – 3у = 1

ПРИКЛАД:

Яка пара чисел

(2; 1), (2; –2), (–1; 2), (1; 0)

є розв’язком рівняння

5х + 3у = 5 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Підставимо кожну пару чисел у дане рівняння:

5 ∙ 2 – 3 ∙ 1 = 10 – 3 ≠ 5,

5 ∙ 2 – 3 ∙ (–2) = 10 + 6 ≠ 5,

5 ∙ (–1) – 3 ∙ 2 = –5 – 6 ≠ 5,

5 ∙ 1 – 3 ∙ 0 = 5 – 0 = 5.

ВІДПОВІДЬ: пара чисел (1; 0) є розв’язком рівняння 5х + 3у = 5

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

ху – 2 = 2х – у.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Групуємо складові для розкладання на множники:

(ху + у) – (2х + 2) = 0.

З кожної дужки винесемо спільний множник:

у(х + 1) – 2(х + 1) = 0,

(х + 1)(у – 2) = 0.

Маємо:

у = 2, х – будь-яке дійсне число,

х = –1, у – будь-яке дійсне число.

Таким чином, відповіддю є всі пари виду

(х; 2), х ∈ R і (–1; у), у ∈ R.

ПРИКЛАД:

Розглянемо рівняння

3х + 5у = 11.

Використовуючи властивості рівнянь, висловимо з нього одну змінну через іншу, наприклад через х. Для цього перенесемо член 3х з лівої частини на праву, змінивши його знак. Отримаємо рівносильне рівняння

5у = –3х + 11.

Розділимо обидві частини цього рівняння на число 5 (воно не дорівнює нулю). Отримуємо рівняння, рівносильне даному:

у = –³/₅х + ¹¹/₅.

Користуючись цією рівністю, для будь-якого х можна обчислити відповідне значення у. Наприклад, якщо х = 2, то

у = –³/₅ ∙ 2 + ¹¹/₅ =

= –⁶/₅ + ¹¹/₅ = ⁵/₅ = 1.

Якщо х = 7, то

у = –³/₅ ∙ 7 + ¹¹/₅ =

= –²¹/₅ + ¹¹/₅ = –¹⁰/₅ = –2.

Пари чисел (2; 1), (7; –2) – розв'язання цього рівняння. Таким чином, це рівняння має безліч рішень.

З цього рівняння

3х + 5у = 11

можна виразити і змінну х через змінну у.

Для цього перенесемо член 5у з лівої частини на праву, змінивши його знак. Отримаємо рівносильне рівняння:

3х = –5у + 11.

Розділимо обидві частини цього рівняння на число 3 (воно не дорівнює нулю). Отримуємо рівняння, рівносильне даному:

х = –⁵/₃у + ¹¹/₃.

Користуючись цією рівністю, для кожного можна обчислити відповідне значення х. Наприклад, якщо у = 2, то

х = –⁵/₃ ∙ 2 + ¹¹/₃ =

= –¹⁰/₃ + ¹¹/₃ = ¹/₃,

і так далі.

Пара чисел (¹/₃; 2) також є розв'язком даного рівняння.

ПРИКЛАД:

Розглянемо рівняння:

У це рівняння змінні х і у входять у першому ступені, тому воно є лінійним. Помножимо обидві частини рівняння на найменше загальне кратне чисел 3 та 5 – число 15. Отримаємо рівносильне рівняння:

або

10х + 5 = 3у – 9.

Змінивши знак, перенесемо член 3у до лівої частини, а член 5 – до правої. Знову отримуємо рівняння, рівносильне цьому:

10х – 3у = –5 – 9,

або

10х – 3у = –14.

Досить часто при вирішенні завдань необхідно знайти або всі пари цілих чисел, або всі пари натуральних чисел, що задовольняють рівняння (у тому числі лінійного) з двома змінними. Тоді кажуть, що треба розв'язати рівняння у цілих числах чи розв'язати рівняння у натуральних числах.

ЗАДАЧА:

Хлопчик купив гумки по 3 руб і олівці по 5 руб. Скільки гумок і олівців купив хлопчик, якщо відомо, що за всю покупку він заплатив 49 руб ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай хлопчик купив х ластиків і у олівців. Запишемо вартість покупки та отримаємо лінійне рівняння з двома змінними:

3х + 5у = 49.

Виразимо з цієї рівності, наприклад, змінну у. Отримаємо:

у = –³/₅х + ⁴⁹/₅.

Очевидно, що рівняння

3х + 5у = 49

має безліч рішень, які є дійсними числами. Для будь-якого дійсного числа х за формулою

у = –³/₅х + ⁴⁹/₅

завжди можна знайти єдине дійсне число.

Однак за змістом завдання числа х і у мають бути натуральними. Будемо у формулу

у = –³/₅х + ⁴⁹/₅

послідовно підставляти натуральні числа

х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

у = –³/₅∙ 1 + ⁴⁹/₅ = ⁴⁶/₅,

у = –³/₅∙ 2 + ⁴⁹/₅ = ⁴³/₅,

у = –³/₅∙ 3 + ⁴⁹/₅ = 8,

у = –³/₅∙ 4 + ⁴⁹/₅ = ³⁷/₅,

у = –³/₅∙ 5 + ⁴⁹/₅ = ³⁴/₅,

у = –³/₅∙ 6 + ⁴⁹/₅ = ³¹/₅,

у = –³/₅∙ 7 + ⁴⁹/₅ = ²⁸/₅,

у = –³/₅∙ 8 + ⁴⁹/₅ = 5,

у = –³/₅∙ 9 + ⁴⁹/₅ = ²²/₅,

у = –³/₅∙ 10 + ⁴⁹/₅ = ¹⁹/₅,

у = –³/₅∙ 11 + ⁴⁹/₅ = ¹⁶/₅,

у = –³/₅∙ 12 + ⁴⁹/₅ = ⁴³/₅,

у = –³/₅∙ 13 + ⁴⁹/₅ = 2,

у = –³/₅∙ 14 + ⁴⁹/₅ = ⁷/₅,

у = –³/₅∙ 15 + ⁴⁹/₅ = ⁴/₅,

Знайдемо, при яких натуральних значеннях число у також буде натуральним. Отримаємо лише три натуральні рішення рівняння:

х = 3, у = 8,

х = 8, у = 5,

х = 13, у = 2.

При всіх інших натуральних значеннях х число у буде або позитивним дробовим числом, або негативним числом.

Завдання до уроку 8

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 20 июля 2016 г.