Урок 1. Координатна площина

четверг, 19 февраля 2015 г.

Урок 1. Координатна площина

Положення точки на координатній прямій позначається числом координатою цієї точки. Положення точки на площині можна задати двома числами.

Багато пар (під парою чисел розуміють два числа, які розглядаються в певному порядку) дійсних чисел називають числовою площиною.

Як для множини всіх дійсних чисел є геометрична модель – координатна пряма, так і для множини всіх пар дійсних чисел є геометрична модель – координатна площина.

Проведемо дві перпендикулярні координатні прямі, що перетинаються. Точку О назвемо початком координат.

Координатна площина ху визначається двома взаємно перпендикулярними координатними прямими із загальним початком і однаковим масштабом.

Сукупність двох взаємно перпендикулярних числових осей із загальною початковою точкою О називають прямокутною системою координат.

Прямокутна система координат складається з двох взаємно перпендикулярних прямих Ох та Оу, які перетинаються у точці О – початок координат, і обраного одиничного відрізку. Прямокутну систему координат називають прямокутною декартовою системою координат. Проведемо на площині дві перпендикулярні координатні прямі х і у, які перетинаються в початку відліку – точці О.

Площину, на якій задано такі координатні прямі, називають координатною площиною, пряму х – віссю абсцис, пряму у – віссю ординат, точку О – початком координат.

Осі координат ділять координатну площину на чотири координатні чверті (квадранті). Точки координатних осей не належить до жодної із чвертей. У межах однієї чверті знаки координат точок не змінюються.Цими осях встановлюється позитивне напрям, на осі абсцис – вправо, на осі ординат – вгору. Вісь абсцис та вісь ординат становлять прямокутну систему координат.

Площина, на якій розміщена прямокутна система координат, називається координатною площиною, а точку О перетин осей – початком координат.

Кожній точці координатної площини відповідає пара чисел.

ПРИКЛАД:

Точці А відповідає пара (–2; 3), бо пряма Ах, перпендикулярна до оси х, перетинає її в точці з координатою –2, а пряма Ау, перпендикулярна до осі у, перетинає її в точці з координатою 3. Координата, яка відкладається по осі Ох, називається – абсцисою, її завжди записують першою. Координата, що відкладається по осі Оу, – ординатою. Говорять, що точка А має координати –2 і 3. Записують:

А(–2; 3).

Тут –2 – абсциса, 3 – ордината.

Зверніть увагу.

– точка О – початок координат, має координати нуль-нуль;

– усі точки, що лежать на осі абсцис, мають ординати, що дорівнюють нулю;

– усі точки, що лежать на осі ординат, мають абсциси, що дорівнюють нулю;

– кожній точці на координатній площині відповідає лише одна пара координат;

– кожній парі чисел відповідає лише одна точка координатної площини.

Відстань між двома точками.

Відстань d між точками

А(х₁; у₁) та B(х₂; у₂)

в координатній площині обчислюють за формулою:

Середина відрізка.

Координати точки C(х; у) – середини відрізка АВ, де

А(х₁; у₁) та B(х₂; у₂),

обчислюють за формулами:

ЗАДАЧА:

Знайдіть координати точки, яка належить осі абсцис і рівновіддалена від точок

А(–1; 5) і В(7; –3).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графічний спосіб розв'язання задачі.

Позначимо координати точки, яку треба знайти – С(х; 0).

Позначимо на координатній площині точки А(–1; 5) і В(7; –3).

З'єднаємо їх прямою лінією. З малюнка видно, що серединою цієї прямої є точка з координатами (3; 1). Проведемо перпендикуляр до цієї точки до перетину з віссю абсцис.

Точка перетину цієї прямої з віссю абсцис буде рівновіддалена від точок А і В. Координата цієї точки (2; 0) і буде вирішенням цього завдання.

С(х; 0) = С(2; 0).

Аналітичний спосіб розв'язання задачі.

AC² = BC²,

(x + 1)² + (0 – 5)² = (x – 7)² + (0 + 3)²,

x² + 2x + 1 + 25 = x² – 14x + 9,

16x = 32, x = 2.

С(х; 0) = С(2; 0).

ЗАДАЧА:

Знайдіть координати точки, яка належить осі ординат і рівновіддалена від точок

С(3; 2) і D(1; –6).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графічний спосіб розв'язання задачі.

Позначимо координати точки, яку треба знайти – М(0; у).

Позначимо на координатній площині точки С(3; 2) і D(1; –6).

З'єднаємо їх прямою лінією. З малюнка видно, що серединою цієї прямої є точка з координатами (2; –2). Проведемо перпендикуляр до цієї точки до перетину з віссю ординат.

Точка перетину цієї прямої з віссю ординат буде рівновіддалена від точок С і D. Координата цієї точки (0; –1,5) і буде вирішенням цього завдання.

М(0; у) = М(0; –1,5).

Аналітичний спосіб розв'язання задачі.

CM² = DM²,

3² + (y – 2)² = 1² + (y + 6)²,

9 + y² – 4y + 4 = 1 + y² + 12y + 36,

16y = –24, y = –1,5.

М(0; у) = М(0; –1,5).

ЗАДАЧА:

Знайдіть відстань від точки А(–4; 3) до початку координат.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ЗАДАЧА:

Відстань між точками А(2; 2) і В(–2; у) дорівнює 5. Знайдіть значення у.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ЗАДАЧА:

Точка С – середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки В, якщо

А(–6; –4), В(2; –6).

РЕШЕНИЕ:
звідки

х_В = 2х_С – х_А = 2 ∙ 2 – (–6) = 10,

звідки

у_В = 2у_С – у_А = 2 ∙ (–6) – (–4) = –8.

С(10; –8).

ЗАДАЧА:

Вершинами трикутника є точки

А(–3; 1), В(2; –2), С(–4; 6).

Знайдіть медіану АМ трикутника АВС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Точка М – середина відрізка ВС. Її координати:

М(–1; 2),

Завдання до уроку 1

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 19 февраля 2015 г.