Завдання 1. Задачі на складання квадратних рівнянь

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

Задачі на складання квадратних рівнянь

 1. Два трактори, працюючи разом, можуть зорати поле за  4 год. За скільки годин може зорати поле кожен трактор, працюючи самостійно, якщо один з них може це зробити на  6 год  швидше, ніж інший ?

      

 а)   5 год,  11 год;     

 б)   8 год,  14 год;

 в)  6 год,  12 год;     

 г)   7 год,  13 год.

 2. Щоб ліквідувати запізнення на  24 хв, потяг на перегоні завдовжки  120 км  збільшив швидкість на  10 км/год  порівняно із запланованою. З якою швидкістю мав їхати потяг ?

   

 а)  50 км/год;     

 б)   55 км/год;

 в)   60 км/год;       

 г)   48 км/год.

 3. Моторний човен пройшов  16 км  по озеру, а потім  15 км  по річці, яка впадає в це озеро, за  1 год. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки становіть  2 км/год ?  

 а)   30 км/год;     

 б)   28 км/год;

 в)   36 км/год;     

 г)  32 км/год.

 4. Кожен з двох бригад мала прокласти по  720 м  кабелю. Перша з них прокладала щогодини на  2 м  більше за іншу і закінчила роботу на  18 год  раніше від неї. Скільки метрів кабелю прокладала щогодини кожна бригада ?

 а)  9 м,  10 м;     

 б)  13 м,  14 м;

 в)  10 м,  8 м;     

 г)  10 м,  11 м.

 5. Перший насос може наповнити басейн на  12 год  швидше, ніж другий, через  4 год  після того, як було включено другий насос, включили перший, і через  10 год  спільної роботи виявилося, що наповнено  ²/₃  басейну. За скільки годин може наповнити басейн кожен насос, працюючи самостійно ?

 а)  28 год,  40 год;      

 б)  30 год,  42 год;

 в)  34 год,  46 год;       

 г)  29 год,  41 год.

 6. З одного міста в інше, відстань між якими дорівнює  300 км, виїхали одночасно два автомобілі. Один із них рухався зі швидкістю на  10 км/год  більшою, ніж інший, а тому прибув до пункту призначення на  1 год  раніше від нього. Знайдіть швидкість кожного з автомобілів.

 а)  60 км/год, 70 км/год;     

 б)  45 км/год, 55 км/год;

 в)  56 км/год, 66 км/год;     

 г)  50 км/год, 60 км/год.

 7. Перші  280 км  дороги від пункту  А  до пункту  В  автобус проїхав з певною швидкістю, а останні  480 км – зі швидкістю на  10 км/год  більшою. Знайдіть початкову швидкість автобуса, якщо на весь шлях від пункту  А  до пункту  В  він затратив на  10 год.

 а)  70 км/год;     

 б)  60 км/год;

 в)  65 км/год;     

 г)  75 км/год.

 8. У кінотеатрі було  320  місць. Після того як число місць у кожному ряді збільшили на  4  і додали ще один ряд, у залі стало  420 місць. Скільки стало рядів у кінотеатрі ?

 а)  20,  4;      
 б)  16,  4;     

 в)  21,  5;      
 г)  84,  4 .

 9. Першій бригаді для підготовки газону футбольного поля потрібно на  10 год  більше, ніж другій. Коли перша бригада пропрацювала  12 год, а потім її замінила друга, яка пропрацювала  9 год, то було підготовлено  60%  газону. За скільки годин може підготувати газон кожна бригада, працюючи самостійно ?

 а)  45 год,  35 год;     

 б)  38 год,  28 год;

 в)  50 год, 40 год;     

 г)  40 год, 30 год.

10. Першому робітнику для виконання завдання потрібно на  4 год  більше,ніж другому. Якщо перший робітник буде працювати  3 год, а потім його змінить другий, то останньому потрібно буде працювати  6 год, щоб закінчити завдання. За скільки годин може виконати все завдання другий робітник ?

    

 а)  6 год;      
 б)  8 год;     

 в)  9 год;      
 г)  7 год.

11. Відстань від пункту  А  до пункту  В  по залізниці дорівнює  105 км, а по річці – 150 км. Поїзд з пункту  А  виходить на  2 год  пізніше від теплохода і прибуває до пункту  В  на  15 хв  раніше. Знайдіть швидкість поїзда, якщо вона на  30 км/год  більша за швидкість теплохода.

 а)  70 км/год;     

 б)  72 км/год;

 в)  68 км/год;       

 г)  80 км/год.

12. Із міста виїхав мікроавтобус. Через  10 хв  після нього із цього міста виїхав у тому самому напрямку легковий автомобіль, який наздогнав мікроавтобус на відстані  40 км  від міста. Знайдіть швидкість мікроавтобуса, якщо вона на  20 км/год  менша від швидкості легкового автомобіля.

 а)  50 км/год;     

 б)  64 км/год;

 в)  60 км/год;     

 г)  58 км/год.

Урок 26. Задачі на складання квадратних рівнянь

З допомогою рівнянь вирішуються численні завдання, яких призводять найрізноманітніші питання фізики, механіки, економіки тощо.

Загальний порядок розв'язання задач за допомогою рівнянь.

– вводять змінні, тобто літерами х, у, z позначають невідомі величини, які потрібно знайти у завданні, або необхідні для відшукання шуканих величин;

– за допомогою введених змінних та даних у задачі чисел та їх співвідношень становлять систему рівнянь (або одне рівняння);

– вирішують складену систему рівнянь (або рівняння) та з отриманих рішень відбирають ті, що підходять за змістом завдання;

– якщо літерами х, у, z позначили не шукані величини, то з допомогою отриманих рішень знаходять у відповідь питання завдання.

Багато задач геометрії, фізики приводять до розв’язування квадратних рівнянь.

ЗАДАЧА:

Два автомобілі виходять з одного міста в друге. Швидкість першого на  10 км/год  більша за швидкість другого, і тому перший автомобіль приходить на місце на  1 год  раніше за другий. Визначити швидкість обох автомобілів, якщо відомо, що відстань між містами  560 км.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Приймаємо швидкість другого автомобіля за  х (км/год). Тоді швидкість першого буде

х + 10 (км/год).

Значить, час руху першого автомобіля буде

час руху другого

За умовою задачі перше з цих чисел на  1  більше за друге. Отже:

Після перетворень маємо:

х² – 10х + 560 = 0.

Корені цього рівняння

х₁ = 70, х₂ = –80.

Відкидаючи другій корінь, оскільки швидкість не може бути від’ємною, одержуємо швидкість другого автомобіля  70 км/год. Тоді швидкість першого дорівнює  80 км/год.

ЗАДАЧА:

Теплохід пройшов за течією річки  48 км  і стільки ж проти течії і затратив на весь шлях  5 год. Визначити швидкість теплохода в стоячій воді, якщо швидкість течії річки  4 км/год.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Швидкість теплохода в стоячій воді приймаємо за  х (км/год). Тоді його швидкість за течією річки буде  х + 4 (км/год), а швидкість проти течії  х – 4 (км/год). Значить, він пройде за течією  48 км  за

і проти течії за

За умовою задачі маємо:

Після перетворення одержуємо рівняння:

х² – 96х – 80 = 0.

Його корені 

х₁ = 20, х₂ = – ⁴/₅.

Отже, швидкість теплохода в стоячій воді була  20 км/год.

ЗАДАЧА:

За  4  дні спільної роботи двох тракторів з різними потужностями виорано  ²/₃  колгоспного поля. За скільки днів можна було б виорати все поле кожним трактором окремо, якщо перший трактор може виорати все поле на  5  днів раніше,  ніж другий ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Роботу приймаємо за одиницю. Припускаємо, що другим трактором можна виорати все поле за  х  днів, тоді першим трактором його можна виорати за  х – 5  днів. Значить, за  4  дні другий трактор виоре 

частину поля, а перший

частину. Оскільки це складає  ²/₃  всього поля, то одержуємо рівняння:

Після перетворення це рівняння набуває вигляду:

х² – 17х + 30 = 0.

Його корені 

х₁ = 15, х₂ = 2.

Другій корінь не відповідає умові задачі, оскільки  2 – 5 = –3. Отже, другий трактор може виорати все поле за  15  днів, а перший – за  10  днів.

ЗАДАЧА:

Два робітника, працюючи разом, виконали виробниче завдання за  14 год. За скільки годин може виконати це завдання кожен робітник, працюючи самостійно, якщо один з них може це зробити на  7 год швидше, ніж інший ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай один робітник сам може виконати завдання за  х год, виконуючи за  1 год  ¹/_х частину завдання. Тоді інший – за  (х + 7) год, виконуючи за  1 год

Рівняння:

х₁ = –4  не задовольняє умову задачі. Отже, один робітник може виконати завдання за  21 год, а другий – за

21 + 7 = 28 (год).

ВІДПОВІДЬ:  21 год,  28 год

ЗАДАЧА:

Турист проплив на моторному човні  25 км  проти течії річки і повернувся назад на плоту. Знайдіть швидкість течії річки, якщо на плоту турист плив на  10 год  більше, ніж на човні, а власна швидкість човна становить  12 км/год.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х км/год – швидкість течії річки, тоді  (12 – х) км/год – швидкість човна проти течії. Проти течії турист плив

а на плоту – ²⁵/_х год. Рівняння:

х = 15  не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість течії річки  12 км/год.

ВІДПОВІДЬ: 12 км/год

ЗАДАЧА:

Першому робітникові для виконання виробничого завдання потрібно на  2 год  більше, ніж другому. Перший робітник працював  2 год, а потім його змінив другий. Після того як другий робітник працював  3 год, виявилось, що виконано  ³/₄  завдання. За скільки годин може виконати це завдання кожний робітник, працюючи самостійно ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай другому робітникові для виконання завдання потрібно  х год, тоді першому – (х + 2) год. За  1 год  перший виконує    частину завдання, а другий – ¹/_х частину. Перший робітник за  2 год  виконав

а другий за  3 год – ³/_х частину. Тоді маємо:

х₁ = 6,  х₂ = –⁴/₃  (не підходить).

ВІДПОВІДЬ:  8 год, 6 год

ЗАДАЧА:

Відстань між двома містами дорівнює  420 км. З одного міста до іншого виїхали одночасно два автомобілі. Швидкість першого з них на  10 км/год  більша за швидкість другого, через що він проїхав у пункт призначення на  1 год  раніше від другого автомобіля. Знайдіть швидкість кожного автомобіля.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х – швидкість другої машини, тому вона була у дорозі  ⁴²⁰/_х год. Тоді  швидкість першої машини – (х + 10) км/год, і вона проїхала  420 км  за

Рівняння:

х = –70  не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість другої машини – 60 км/год. Тоді швидкість першої машини –

60 + 10 = 70 (км/год).

ВІДПОВІДЬ: 70 км/год, 60 км/год

ЗАДАЧА:

Перший насос наповнив водою басейн об’ємом  360 м³, а другий – об’ємом  480 м³. Перший насос перекачував щогодини на  10 м³  води менше, ніж другий, і працював на  2 год  довше, ніж другий. Який об’єм води перекачує кожен насос за годину ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х м³  води перекачував за  1 год  другий насос, він затратив на наповнення басейну  ⁴⁸⁰/_х год. Тоді  (х – 10) м³  води перекачував за  1 год  перший насос і затратив

Рівняння:

х = –80  не задовольняє умову задачі. Другий насос перекачував за  1 год  30 м³, перший –

30 – 10 = 20 (м³).

ВІДПОВІДЬ: 20 м³, 30 м³

ЗАДАЧА:

Кілька учнів поділили порівну між собою  180  яблук. Якби учнів було на  3  менше, то кожний з них отримав би на  3  яблука більше. Скільки було учнів ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай було  х учнів, тоді кожний отримав  ¹⁸⁰/_х яблук. Якби учнів було  (х – 3), то кожний отримав би

що на  3  більше від  ¹⁸⁰/_х. Рівняння:

ВІДПОВІДЬ: 15 учнів

ЗАДАЧА:

Для перевезення  30 т  вантажному автомобілю треба було зробити кілька рейсів, але вантаж довелося перевозити на автомобілі, який мав вантажопідйомність на  2 т  більше, ніж планувалося. Через це для перевезення вантажу знадобилося на  4  рейси менше, ніж планувалося. Знайдіть вантажопідйомність автомобіля, який перевіз вантаж.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х т – вантажність автомобіля, який мав перевозити вантаж. Йому потрібно було здійснити ³⁰/_х рейсів. Вантажність автомобіля, який перевіз вантаж, – (х + 2) т, і тому він перевіз вантаж за

Рівняння:

х = –5  не задовольняє умову задачі. Вантажність автомобіля, який мав виконати перевезення, – 3 т. Тоді вантажність автомобіля, який перевіз вантаж, становить

3 + 2 = 5 (т).

ВІДПОВІДЬ: 5 т

ЗАДАЧА:

Перша бригада мала виготовити  120  однакових деталей, а друга – 144  такі деталі. Перша бригада виготовляла щогодини на  4  деталі більше, ніж друга, і працювала на  3 год  менше від другої. Скільки деталей виготовляла кожна бригада за годину ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай за  1 год  друга бригада виготовляла  х деталей, тому вона затратила  ¹⁴⁴/_х год. Тоді за  1 год  друга бригада виготовляла  (х + 4) деталей і затратила

Рівняння:

х = –12  не задовольняє умову задачі.

ВІДПОВІДЬ:  20  і  16 деталей

ЗАДАЧА:

Із села  А  в село  В, відстань між якими дорівнює  30 км, велосипедист проїхав з певною швидкістю, а повертався зі швидкістю на  3 км/год  більшою і витратив на  30 хв  менше, ніж на шлях із села  А  в село  В. Знайдіть початкову швидкість велосипедиста.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х км/год – початкова швидкість велосипедиста, тому  ³⁰/_х год – час його руху з пункту  А  в  В. Назад він рухався зі швидкістю  (х + 3) км/год  і затратив час

Рівняння:

х = –15  не задовольняє умову задачі. Отже, початкова швидкість велосипедиста  12 км/год.

ВІДПОВІДЬ: 12 км/год

ЗАДАЧА:

Тракторист мав зорати поле площею  200 га. Кожен день він зорював на  5 га  більше, ніж планував, а тому закінчив оранку на  2  дні раніше строку. За скільки днів тракторист зорав поле ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай тракторист зорав поле за  х днів, зорюючи щодня  ²⁰⁰/_х га. За планом він мав зорати поле за  (х +2) дні, зорюючи

Це на  5 га  менше, ніж він насправді зорював. Рівняння:

х = –10  не задовольняє умову задачі. Отже, тракторист зорав поле за  8 днів.

ВІДПОВІДЬ:  8 днів

ЗАДАЧА:

Катер пройшов  10 км  за течією річки і  9 км  по озеру, витративши на весь шлях  1 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки становить  2 км/год.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай власна швидкість катера дорівнює  х км/год, тоді його швидкість за течією – (х + 2) км/год. За течією він плив

а озером – ⁹/_х год. Маємо:

х = –1  не задовольняє умову задачі.

ВІДПОВІДЬ:  18 км/год

ЗАДАЧА:

Із села на станцію вийшов пішохід. Через  36 хв  після нього з цього села виїхав у тому самому напрямку велосипедист, який наздогнав пішохода на відстані  6 км  від села. Знайдіть швидкість пішохода, якщо вона на  9 км/год менша від швидкості велосипедиста.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х км/год – швидкість пішохода, тому він затратив на дорогу  ⁶/_х год. Тоді швидкість велосипедиста  (х + 9) км/год  і він затратив на дорогу

Рівняння:

х = –15  не задовольняє умову задачі.

ВІДПОВІДЬ:  6 км/год

ЗАДАЧА:

Щоб ліквідувати запізнення на  24 хв, потяг на перегоні завдовжки  120 км  збільшив швидкість на  10 км/год  порівняно із запланованою. З якою швидкістю мав їхати потяг ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай швидкість поїзда за розкладом  х км/год, тоді час його руху має бути  год. Збільшена швидкість руху поїзда – (х + 10) км/год. Час його руху з цією швидкістю

що на  24 хв = ²/₅ год менше, ніж за розкладом. Рівняння:

х = –60  не задовольняє умову задачі.

ВІДПОВІДЬ:  50 км/год

ЗАДАЧА:

Резервуар, об’єм якого дорівнює  10 м³, наповнюється водою через першу трубу на  5 хв  швидше, ніж через другу трубу. Скільки кубічних метрів води надходить за годину з кожної труби, якщо з першої за годину надходить на  10 м³  більше, ніж з другої ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай з другої труби за  1 год  витікає  х м³  води, тоді з першої – (х + 10) м³. Резервуар, об’єм якого дорівнює  10 м³, друга труба заповнює за  ¹⁰/_х год, а перша – за

5 хв = ¹/₁₂ год. Рівняння:

х = –40  не задовольняє умову задачі. Отже, з другої труби за  1 год  витікає  30 м³, а з першої –

30 + 10 = 40 (м³).

ВІДПОВІДЬ:  30 м³,  40 м³

ЗАДАЧА:

Для класу закупили кілька ручок, заплативши за них  180 грн. Якби ціна ручки була на  3 грн  меншою, то ручок купили б на  3  більше. Скільки коштує одна ручка ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай ціна ручки  х грн, тоді купили  ¹⁸⁰/_х ручок. Якби ціна ручки була  (х – 3) грн, то ручок купили б

і їх кількість була б на  3  більше від  ¹⁸⁰/_х. Рівняння:

х = –12  не задовольняє умову задачі. Отже, вартість ручки дорівнює  15 грн.

ВІДПОВІДЬ:  15 грн

ЗАДАЧА:

Одна машина працювала на розчищенні ковзанки  25 хв, а потім її змінила друга машина, яка закінчила розчищення за  16 хв. За скільки хвилин може розчистити ковзану кожна машина, працюючи самостійно, якщо першій для цього потрібно на  9 хв  більше, ніж другій ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай перша машина може розчистити ковзанку самостійно за  х хв, тоді другій для цього потрібно  (х – 9) хв. За  1 хв  перша машина розчищає  ¹/_х частину ковзанки, а друга –

Перша машина за  25 хв  розчистила  ²⁵/_х  частину ковзанки, а друга за  16 хв –

Оскільки в результаті їх роботи була розчищена вся ковзанка, то

Розв’яжемо одержане рівняння:

25х – 225 + 16х = х² – 9х,

х² – 50х + 225 = 0,

х₁ = 45,  х₂ = 5,

Корінь  5  не задовольняє умову задачі, оскільки при  х = 5  маємо:

х – 9 = 5 – 9 < 0.

Отже, першій машині потрібно для самостійного розчищення ковзанки  45 хв, а другій – 36 хв.

ВІДПОВІДЬ: 15 хв,  36 хв

ЗАДАЧА:

Катер пройшов  30 км  за течією річки і повернувся назад, витративши на шлях  2 год 15 хв. Визначте швидкість течії, якщо власна швидкість катера дорівнює  27 км/год.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай швидкість течії становить  х км/год. Тоді  (27 + х) км/год – швидкість катера за течією річки, (27 – х) км/год – швидкість катера проти течії річки. За течією він плив

а проти течії –

затративши на весь шлях  2 год 15 хв = ⁹/₄ год. Складаємо рівняння:

х = –3  не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість течії річки становить  3 км/год.

ВІДПОВІДЬ: 3 км/год

ЗАДАЧА:

Дві бригади, працюючи разом, зорали поле за  8 год. За скільки годин може зорати поле кожна бригада, працюючи самостійно, якщо одній бригаді на це потрібно на  12 год  більше, ніж іншій ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай перша бригада може виконати завдання за  х год, виконуючи за  1 год  ¹/_х частину завдання. Тоді друга – за  (х + 12) год, виконуючи за  1 год

Рівняння:

х = –8  не задовольняє умову задачі. Отже, одна бригада може зорати поле за  12 год, а інша – за

12 + 12 = 24 (год).

ВІДПОВІДЬ:  12 год, 24 год

ЗАДАЧА:

Моторний човен пройшов  6 км  проти течії річки і  8 км  за течією, витративши на весь шлях  1 год. Яка швидкість човна в стоячій воді, якщо швидкість течії річки становіть  2 км/год ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай швидкість човна в стоячій воді дорівнює  х км/год. Тоді його швидкість за течією – (х + 2) км/год, а проти течії – (х – 2) км/год. Отримаємо:

6(х + 2) + 8(х – 2) = (х – 2)(х + 2),

14х – 4 = х² – 4,

х² – 14х = 0,

х₁ = 0,  х₂ = 14,

Корінь  0  не задовольняє умову задачі.

ВІДПОВІДЬ:  14 км/год

ЗАДАЧА:

Човен, пропливає  9 км  за течією річки і  1 км  проти течії за такий самий час, який потрібен плоту, щоб проплисти  4 км по цій річці. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість човна становить  8 км/год.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х км/год – швидкість течії річки. Тоді  (8 + х) км/год – швидкість човна за течією, (8 – х) – швидкість проти течії річки.

– час руху човна за течією,

– час руху човна проти течії річки. Пліт  4 км  пропливе за  год. Рівняння:

х = 16  не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість течії річки становить  4 км/год.

ВІДПОВІДЬ:  4 км/год

Завдання до уроку 26

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Лінійне рівняння з одним невідомим і цілими вільними членами
• Урок 2. Лінійне рівняння з одним невідомим і дрібними вільними членами
• Урок 3. Застосування правил визначення невідомого доданка, зменшуваного і від'ємника для розв'язання задач
• Урок 4. Застосування правил визначення невідомого множника для розв'язання задач
• Урок 5. Розв'язування рівнянь, що зводяться до лінійних
• Урок 6. Розв'язування рівнянь із змінною в знаменнику
• Урок 7. Застосування правил визначення діленого і дільника для розв'язання задач
• Урок 8. Лінійне рівняння з двома невідомими
• Урок 9. Рішення лінійних рівнянь за допомогою графіків
• Урок 10. Лінійне рівняння з параметром
• Урок 11. Системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими
• Урок 12. Розв'язання систем рівнянь способом підстановки
• Урок 13. Розв'язання систем рівнянь способом алгебраїчного додавання
• Урок 14. Рішення лінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 15. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь
• Урок 16. Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
• Урок 17. Повне квадратне рівняння загального вигляду
• Урок 18. Зведене квадратне рівняння
• Урок 19. Теорема Вієта
• Урок 20. Неповні квадратні рівняння
• Урок 21. Розв'язання квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена
• Урок 22. Графічний спосіб розв'язування квадратних рівнянь
• Урок 23. Квадратний тричлен
• Урок 24. Квадратні рівняння з параметрами
• Урок 25. Дробові раціональні рівняння
• Урок 27. Рівняння кола
• Урок 28. Системи рівнянь другого степеня є двома невідомими
• Урок 29. Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня
• Урок 30. Перетин прямої з колом
• Урок 31. Рішення нелінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 32. Системи рівнянь з параметрами
• Урок 33. Рівняння вищих степенів
• Урок 34. Розв'язання рівнянь способом заміни
• Урок 35. Розв'язання систем рівнянь способом заміни
• Урок 36. Задачі на знаходження чисел
• Урок 37. Задачі на знаходження цифр
• Урок 38. Рішення задач на змішування за допомогою рівнянь
• Урок 39. Рішення задач на змішування за допомогою систем рівнянь
• Урок 40. Ірраціональні рівняння