Урок 14. Подобие равнобедренных треугольников

вторник, 17 февраля 2015 г.

Урок 14. Подобие равнобедренных треугольников

ВИДЕОУРОК
Две фигуры подобны, если каждой точке одной фигуры можно сопоставить точку другой фигуры так, что для любых двух точек А и В одной фигуры и сопоставимых им точек А₁ и В₁ другой фигуры выполняется условие

где k – одно и то же положительное число для всех точек.

Число k – коэффициент подобия фигур.

Признаки подобия равнобедренных треугольников.

Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют

– по равному углу при основании;

– по равному углу при вершине.

Отношение периметров подобных равнобедренных треугольников равно отношению сходственных сторон (коэффициенту подобия):

Отношение площади подобных треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон (квадрату коэффициента подобности).

ЗАДАЧА:

Углы при основании первого равнобедренного треугольника равны углам при основании второго равнобедреного треугольника. Боковая сторона и основание первого треугольника равны соответственно 15 см и 18 см, а высота второго треугольника, проведенная до основания, – 24 см. Найдите периметр второго треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж
АН = 18 : 2 = 9 (см),

Р₁ : Р = В₁Н₁ : ВН =

= 24 : 12 = 2,

Р₁ = 2Р =

= 2 ∙ (15 + 15 + 18) = 96 (см).

ЗАДАЧА:

Середина боковой стороны равнобедренного треугольника удалена от его основания на 9 см. Найдите высоту треугольника, проведённую до его основания.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Треугольники ВDС и КLС – подобные.
BD = 2 ∙ 9 = 18 (см).

ЗАДАЧА:

Продолжение боковых сторон АВ и СD трапеции АВСD пересекаются в точке Е. Большее основание АD трапеции равно 12 см,

АЕ = 15 см, ВЕ = 5 см.

Найдите меньшее основание трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВСD (АВ ∥ ВС) – данная трапеция
АD = 12 см, АЕ = 5 см.
∆ ВЕС~ ∆ АЕD,
ОТВЕТ: 4 см

ЗАДАЧА:

В треугольнику АВС известно, что

АВ = ВС = 13 см,

АС = 10 см.

К окружности, вписанной в этот треугольник, проведена касательная, которая параллельна основанию АС и пересекает стороны АВ и ВС в точках М и К соответственно. Найдите площадь треугольника МВК.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Расстояние FL между параллельными прямыми АС и МК равно диаметру вписанной окружности. Найдём это расстояние.
По формуле Герона
Из формулы S = pr найдём r,
LF = 2r = ²⁰/₃ (см).

Найдём высоту ВF треугольника АВС.

¹/₂ AC∙ BF = S = 60 (см²),

¹/₂∙ 10∙ BF = 60,

BF = 12 (см),

BL = BF – LF = 12 – ²⁰/₃ =

= 12 – 6²/₃ = 5¹/₃ (см).

Так как MK ∥ АC, то

∆ ABC ~ ∆ MBK.

Откуда получим:

ОТВЕТ: 11²³/₂₇ см².

ЗАДАЧА:

Две окружности с центрами О₁ и О₂, радиусы которых равны 10 см и 16 см соответственно, имеют внешнее касание в точке С. Прямая, которая проходит через точку С, пересекает окружность с центром О₁ в точке А, а вторую окружность – в точке В. Найдите хорды АС и ВС, если АВ = 39 см.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Рассмотрим треугольники САО₁ и СВО₂. Они равнобедренные и

∠ О₁СА = ∠ О₂СВ.

Поэтому,

∆ САО₁~ ∆ СВО₂.

Пусть АС = х см.

Тогда ВС = (39 – х) см.
16х = 390 – 10х,

26х = 390, х = 15.

Поэтому, АС = 15 см,

ВС = 39 – 15 = 24 (см).

ОТВЕТ: 15 см, 24 см.

ЗАДАЧА:

Основание равнобедренного треугольника равно 40 см, а высота, проведнная до него, – 15 см. Найдите расстояние между точками касания окружности, вписанной в треугольник, с его боковыми сторонами.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВС – равнобедренный треугольник,
АС – его основание,

АС = 40 см,

ВР – высота треугольника, ВР = 15 см,

D, К и Р – точки касания вписанной окружности с центром О и с соответствующими сторонами треугольника.

АР = АС : 2 =

= 40 : 2 = 20 (см).

Из прямоугольного треугольника АРВ (∠ Р = 90°):

АО – биссектриса угла А треугольника АВР. По свойству биссектрисы имеем:

5РО = 60 – 4РО,

9РО = 60, РО = ²⁰/₃ см.

ВО = 15 – ²⁰/₃ = ²⁵/₃ (см).

Из прямоугольного треугольника ОDВ (∠ D = 90°) имеем:

ВО = ²⁵/₃ см,

ОD = ОР = ²⁰/₃ см,
Аналогично ВК = 5 см. Поэтому,

∆ АВС~ ∆ DВК.

Откуда получим:

АВ : АС = DВ : DК,

25 : 40 = 5 : DК,

DК = 40 ∙ 5 : 25,

DК = 8 (см).

ОТВЕТ: 8 (см)

ЗАДАЧА:

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 40 см, а высота, проведённая до основания, – 4√͞͞͞͞͞91 см. Найдите расстояние между точками пересечения биссектрис углов при основании треугольника с его боковыми сторонами.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВС – заданный равнобедренный треугольник.
АВ = ВС = 40 см,

ВЕ – его высота,

ВЕ = 4√͞͞͞͞͞91 см,

О – точка пересечения биссектрис

АL и СК.

Из прямоугольного треугольника АЕВ (∠ Е = 90°) получим:

По свойству биссектрисы треугольника имеем:

Тогда

ВL = ⁵/₈ВС = 25 (см).

Аналогично ВК = 25 см. Треугольники КВL и АВС – равнобедренные так как имеют общий угол при вершине. Поэтому,

∆ КВL ~ ∆ АВС.

Тогда
ОТВЕТ: 15 см

ЗАДАЧА:

Диагонали равнобедренной трапеции являются биссектрисами её гострых углов и точкой пересечения делятся ву отношении 5 : 13. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 9 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВСD (ВС ∥ АD, ВС < АD) – данная трапеция.
АВ = СD,

ВF = СК = 9 см – её высоты.

Диагональ АС – биссектриса угла ВАD, поэтому

∠ ВАС = ∠ САD,

∠ САD = ∠ АСВ

как внутренние разносторонние для параллельных прямых ВС и АD и касательной АС. Откуда

∠ ВАС = ∠ АСВ.

Поэтому, ∆ АВС – равнобедренный,

ВС = АВ.

Откуда

АВ = ВС = СD.

Если О – точка пересечения диагоналей, то по условию

ВО : ОО = 5 : 13.

∆ BOC ~ ∆ DOA по двум углам. Тогда
Пусть BC = 5x, тогда AD = 13x.

Поэтому AB = CD = 5x.

Так как BF и CK – высоты,то BC = FK,
Из ∆ АFВ (∠ F = 90°):

BF² = AB² – AF²,

81 = 25x² – 16x²,

81 = 9x², x = 3.

BC = 5 ∙ 3 = 25 (см),

AD = 13 ∙ 3 = 39 (см).

ОТВЕТ: 243 см²

Задания к уроку 14

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 17 февраля 2015 г.