Урок 20. Графік прямої пропорціональності

пятница, 23 июня 2017 г.

Урок 20. Графік прямої пропорціональності

Пряма пропорціональність є часткою випадком лінійної функції, оскільки формула

у = kх

виходить з формули

у = kх + b

при b = 0.

Звідси витікає, що графіком прямої пропорціональності служить пряма. Ця пряма проходить через початок координат, оскільки при

х = 0

значення у рівне 0.

Графіком прямої пропорціональності є пряма, що проходить через початок координат.

На малюнку

зображено графік функції у = kх при k ˃0, а на малюнку

– графік функції у = kх при k <0.

Порядок побудови графіка прямої пропорційності:

– вибрати довільне значення аргументу, відмінного від нуля;

– обчислити відповідне значення функції при обраному аргументі;

– відзначити на координатній площині отриману точку;

– провести пряму через початок координат і отриману точку.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції:

у = 0,5х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тут безліч значень змінної х – безліч всіх чисел. Відповідність між множиною значень змінної х і множиною значень змінної у є прямою пропорційністю з коефіцієнтом пропорційності, рівним 0,5.

Побудуємо графік розглянутої функції. Для цього складемо таблицю:

Побудуємо точки, координати яких розміщені в таблиці.
Можна помітити, що точки розташовані прямою, що проходить через початок координат. Проведемо цю пряму.
Побудована пряма є графіком функції у = 0,5х, заданої на множині всіх чисел. Її називають також графіком прямої пропорційності, заданої формулою у = 0,5х на множині всіх чисел.
У такий же спосіб можна побудувати графік функції у = –2х.

Цей графік також є прямою лінією та проходить через початок координат.
Для побудови графіка прямої пропорційності досить відмітити якусь точку графіка, відмінну від початку координат, і провести через точку і початок координат пряму.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції:

у = 2х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіком цієї функції є пряма, що проходить через початок координат. Для його побудови достатньо знайти одну точку графіка, відмінну від початку координат, і провести пряму через початок координат та знайдену точку.

Як таку точку виберемо точку (1; 2)

(якщо х = 1, то у = 2 ∙ 1 = 2).

Графік функції у = 2х зображений малюнку.

Звідси випливає, що при k > 0 графік прямої пропорційності розташований у першій та третій координатних чвертях.

Розташування графіку функції у = kх в координатній площині залежить від коефіцієнта k. З формули у = kх знаходимо, що якщо х = 1, то у = k. Значить, графік функції у = kх проходить через точку (1; k). При k > 0 ця точка розташована в першій координатній чверті, а при k < 0 – в четвертій.

Звідси витікає, що при k > 0 графік прямої пропорціональності розташований в першій і третій координатних чвертях.

ПРИКЛАД:

y = 0,5x.

А при k < 0 – у другій і четвертій.

ПРИКЛАД:

у = –1,5х.

На малюнку побудовані графіки прямої пропорціональності при різних значеннях k.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції:

у = |х|.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Це рівняння розпадається на два:

1) у = х при х ≥ 0,

2) у = –х при х ≤ 0.

Графік цієї функції і двох напівпрямих.

Так як у ≥ 0, осі координат можна викреслювати тільки для верхньої напівплощини.

у(–х) = |–х| = |х| = у(х),

отже, функція парна. Тому викреслюємо тільки пряму гілку (при х ≥ 0), що є прямою у = х. Ліва гілка її симетрична.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції:

|у| = х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область існування функції х ≥ 0, оскільки |у| – число невід'ємне.

Графік симетричний щодо х-ів, оскільки |у| = |–у |.

При у ≥ 0 маємо напівпряму у = х.

При у ≤ 0 маємо напівпряму, їй симетричну щодо горизонтальної осі.
Якщо область визначення функції у = kх складається з усіх чисел, її графіком служить підмножина точок цієї прямої (наприклад, промінь, відрізок, окремі точки).

ПРИКЛАД:

Відомо, що графік прямої пропорційності проходить через точку А(5; 22). Чи проходить цей графік через точку В(7; 32,4) ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Точка А визначає коефіцієнт пропорційності: