Урок 17. Лінійна функція

Лінійною функцією називається функція, яку можна задати формулою

де  х – незалежна змінна,  a  и  b – числа.

Область визначення лінійної функції – множина всіх дійсних чисел. При  а ˃ 0  вона зростає, а при  а < 0 – спадає. При  а = 0  лінійна функція парна, обмежена, періодична. Періодом її можна вважати будь-яке додатне число однак найменшого періоду не існує. При  а ≠ 0  лінійна функція неперіодична, необмежена; вона не парна і не непарна, якщо  b ≠ 0, а при  b = 0  вона непарна.

ПРИКЛАД:

На шосе розташовані пункти  А  і  В, віддалені один від одного на  20 км. Мотоцикліст виїхав з пункту  У  в напрямі, протилежному  А, із швидкістю  50 км/год. За  годину  мотоцикліст проїде  50 км і знаходитиметься від  А  на відстані

50t + 20 (км).

Якщо позначити буквою  S  відстань (у кілометрах) мотоцикліста до пункту  А, те залежність цієї відстані від часу руху можна виразити формулою

S = 50t + 20,  де  t ≥ 0.

ПРИКЛАД:

Учень купив зошиті по  3 коп  за штуку і ручку за  35 коп. Вартість купівлі залежить від числа зошитів. Позначимо число куплених зошитів буквою  х, а вартість купівлі (у копійках) буквою  у. Отримаємо:

у = 3х + 35,

де  х – натуральне число.

У обох прикладах ми зустрілися з функціями, заданими формулами виду

у = ах + b,

де  х – незалежна змінна, а  і  b – числа.

Такі функції називаються лінійними.

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки:

А(–1; 4)  і  В(–3; –2).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = ах + b.

Підставимо координати точок.

Знайдемо різницю між першим і другим рівнянням:

–а + b – (–3а + b) = 4 – (–2), 

–а + b + 3а – b = 4 + 2,

2а = 6,  а = 3.

Знайдемо суму між першим та другим рівнянням:

–а + b + (–3а + b) = 4 + (–2), 

–а + b – 3а + b = 4 – 2,

–4а + 2b = 2,  –2а + b = 1,

Підставимо замість  а = 3, отримаємо:

–2 ∙ 3 + b = 1,

звідки  b = 7.

   

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки:

С(–3; 12)  и  D(1; 4).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = ах + b.

Підставимо координати точок.

ВІДПОВІДЬ:  у = 3х + 7

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки:

С(–3; 12)  и  D(1; 4).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = ах + b.

Підставимо координати точок.

Знайдемо різницю між першим і другим рівнянням:

–3а + b – (а + b) = 12 – 4, 

–4а = 8,  а = –2.

Знайдемо суму між першим та другим рівнянням:

–3а + b + (а + b) = 12 + 4,

–3а + b + а + b = 16,

–2а + 2b = 16,

–а + b = 8.

Підставимо замість  а = –2, отримаємо:

–2 + b = 8,

звідки  b = 6.

ВІДПОВІДЬ:  у = –2х + 6

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку

А(2; –7).

і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут  45°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = tg 45°х + b.

Так як тангенс сорока п'яти градусів дорівнює  1, то отримаємо наступне рівняння:

у = х + b.

Підставляємо замість  х  число  2, а замість у  число  –7, отримаємо:

–7 = 2 + b.

звідки  b = –9.

ВІДПОВІДЬ:  у = х – 9

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку

В(3√͞͞͞͞͞3; 8).

і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут  30°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = tg 30°х + b.

Так як тангенс тридцяти градусів дорівнює

то отримаємо

Підставляємо замість  х  число  3√͞͞͞͞͞3, а замість  у  число  8, отримаємо: наступне рівняння:

звідки  b = 5.

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку

А(√͞͞͞͞͞3; 5).

і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут  60°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = tg 60°х + b.

Так як тангенс шістдесяти градусів дорівнює  √͞͞͞͞͞3 , то отримаємо наступне рівняння:

у = √͞͞͞͞͞3 х + b.

Підставляємо замість  х  число  √͞͞͞͞͞3, а замість  у  число  5, отримаємо:

5 = √͞͞͞͞͞3 ∙√͞͞͞͞͞3 + b,  5 = 3 + b.

звідки  b = 2.

ВІДПОВІДЬ:  у = √͞͞͞͞͞3 х + 2

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку

В(–3; 8)

і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут  135°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = tg 135°х + b.

Так як тангенс ста тридцяти п'яти градусів дорівнює  –1, то отримаємо наступне рівняння:

у = –х + b.

Підставляємо замість  х  число  –3, а замість  у  число  8, отримаємо:

8 = –(–3) + b.

звідки  b = 5.

ВІДПОВІДЬ:  у = –х + 5

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку

М(–1; 6)

і паралельна прямій

у = –5х + 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У паралельних прямих кутові коефіцієнти рівні. Тоді рівняння прямої буде наступне:

у = –5х + b.

Підставляємо замість  х  число  –1, а замість  у  число  6, отримаємо:

6 = (–5) ∙ (–1) + b,  6 = 5 + b.

звідки  b = 1.

ВІДПОВІДЬ:  у = –5х + 1

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку

Р(2; –5)

і паралельна прямий

у = –0,5х + 9.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У паралельних прямих кутові коефіцієнти рівні. Тоді рівняння прямої буде таке:

у = –0,5х + b.

Підставляємо замість  х  число  2, а замість у  число  –5, отримаємо:

–5 = (–0,5) ∙ 2 + b,  –5 = –1 + b.

звідки  b = –4.

ОТВЕТ:  у = –0,5х – 4

ПРИКЛАД:

Визначте кутовий коефіцієнт прямої, заданої рівнянням:

3х – у = 7.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

3х – у = 7,  у = 3х – 7,

Звідки кутовий коефіцієнт дорівнює  а = 3.

ПРИКЛАД:

Через яку точку проходить графік рівняння ?

3у – 5х = 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Через точку  (2; 5) так як

3 ∙ 5 – 5 ∙ 2 = 5.

Завдання до уроку 17

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Координатна площина
• Урок 2. Діаграми
• Урок 3. Графіки
• Урок 4. Множини
• Урок 5. Що таке функція ?
• Урок 6. Аналітичній спосіб задання функції
• Урок 7. Табличний спосіб задання функції
• Урок 8. Графічний спосіб задання функції
• Урок 9. Знаходження області визначення і області значення функції аналітичним способом
• Урок 10. Знаходження області визначення і області змині за допомогою графіка
• Урок 11. Нулі функції
• Урок 12. Зростання і спадання функції
• Урок 13. Екстремальні значення функцій
• Урок 14. Симетричні функції
• Урок 15. Парні і непарні функції
• Урок 16. Функція, зворотна даною
• Урок 18. Графік лінійної функції
• Урок 19. Пряма пропорційність
• Урок 20. Графік прямої пропорціональності
• Урок 21. Взаємне розташування графіків лінійних функцій
• Урок 22. Функція обернено пропорціональної залежності
• Урок 23. Графік функції обернено пропорціональної залежності
• Урок 24. Квадратична функція
• Урок 25. Графік функції  у = aх² + b
• Урок 26. Графік функції  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. Графік функції  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функція  у = √͞͞͞͞͞х   і її графік
• Урок 29. Функція  у = хⁿ   і її графік
• Урок 30. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень