Урок 30. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень

Перетворення графіків функцій – це лінійні перетворення функції  

y = f(x)  

чи її аргументу  х  до виду

y = af(kx + b) + m,

а так само перетворення з використанням модуля.

Знаючи, як будувати графіки функції  y = f(x), де 

y = kx + b,

y = ax²,

y = xⁿ,

y = ^k/_x,

y = a^x,

y = log_a x,

можна побудувати графік функції

y = af(kx + b) + m.

ЗАГАЛЬНИЙ ВИГЛЯД ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУНКЦІЇ

Паралельне перенесення графіку уздовж осі абсцис на  |b|  одиниць.

Графік функції

y = f(x – b),

можна одержати із графіка функції  y = f(x)  за допомогою паралельного перенесення вздовж осі  х  на  b  одиниць праворуч, якщо  b < 0, і на  b  одиниць ліворуч, якщо  b ˃ 0.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = (х + 2)³.

Будуємо графік функції  у = х³ і паралельно переносимо графік ліворуч на  2  одиниці вздовж осі  х  (оскільки  2 ˃ 0). Одержуємо графік функції

у = (х + 2)³.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = (х – 3)².

Будуємо графік функції  у = х² і паралельно переносимо графік праворуч на  3  одиниці вздовж осі  х  (оскільки  –3 < 0). Одержуємо графік функції

у = (х – 3)².

Паралельне перенесення графіку уздовж осі ординат на  |m|  одиниць.

Графік функції

y = f(x) + m

де  m ˃ 0, можна одержати із графіка функції  y = f(x)  за допомогою паралельного перенесення вздовж осі  у  на  m  одиниць угору, якщо  m ˃ 0, і на  m  одиниць униз, якщо  m < 0.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = х² – 5.

Будуємо графік функції  у = х² і паралельно переносимо графік униз  на  5  одиниць вздовж осі  у  (оскільки  –5 < 0). Одержуємо графік функції

у = х² – 5.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = √͞͞͞͞͞х  + 4.

Будуємо графік функції  у = √͞͞͞͞͞х   і паралельно переносимо графік угору  на  4  одиниці вздовж осі  у  (оскільки  4 ˃ 0). Одержуємо графік функції

у = √͞͞͞͞͞х  + 4.

Відображення графіку.

y = f(–x)

Щоб побудувати графік функції  y = f(–x), необхідно симетрично відобразити графік функції  y = f(x)  відносно осі ординат.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = –х + 3.

Будуємо графік функції  у = х + 3  і відображаємо одержаній графік симетрично відносно осі  у  й одержуємо графік функції

у = –х + 3.

y = –f(x)

Щоб побудувати графік функції  y = –f(x), необхідно симетрично відобразити графік функції  y = f(x)  відносно осі абсцис.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = –(х – 3)².

Будуємо графік функції  у = х² і паралельно переносимо графік праворуч на  3  одиниці вздовж осі  х  (оскільки  –3 < 0). Одержуємо графік функції

у = (х – 3)².

Відображаємо одержаній графік симетрично відносно осі  х  й одержуємо графік функції

у = –(х – 3)².

Стискування і розтягування графіку.

y = f(kx)

При  k ˃ 1 – стискування графіку до осі ординат в  k  разів,

при  0 < k < 1 – розтягування графіку від осі ординат в  k  разів,

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = (3х)².

Будуємо графік функції  у = х². Виконуємо стиск графіка функції    утричі до осі  у  й одержуємо графік функції

у = (3х)².

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

Будуємо графік функції  у = √͞͞͞͞͞х. Виконуємо розтяг графіка функції у ¹/₃   від осі  у  й одержуємо графік функції

y = kf(x)

При  k ˃ 1 – розтягування графіку від осі абсцис в  k  разів,

при  0 < k < 1 – стискування графіку до осі абсцис в  k  разів.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = 3√͞͞͞͞͞х.

Будуємо графік функції  у = √͞͞͞͞͞х . Виконуємо розтяг графіка функції    удвічі від осі  х  й одержуємо графік функції

у = 3√͞͞͞͞͞х.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = ¹/₃ х³.

Будуємо графік функції  у = х³. Виконуємо стиск графіка функції  у = х³   утричі до осі  х  й одержуємо графік функції

у = ¹/₃ х³.

Перетворення графіку з модулем.

у = | f(x)|

При  f(x) ˃ 0 – графік залишається без змін,

при  f(x) < 0 – графік симетрично відбивається відносно осі абсцис.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = |х² – 6|.

Будуємо графік функції  у = х². Паралельно переносимо графік униз на  6  одиниць вздовж оси  у  й одержуємо графік функції

у = х² – 6.

Відображаємо симетрично відносно осі  х  ту частину графіка, яка міститься під віссю, й одержуємо графік функції

у = |х² – 6|.

ПРИКЛАД

Побудувати графік функції

у = |х³|.

Відображаємо симетрично відносно осі  х  ту частину графіка, яка міститься під віссю, й одержуємо графік функції

у = |х³|.

у = f(|x|)

При  x ≥ 0 – графік залишається без змін,

при  x < 0 – графік симетрично відбивається відносно осі ординат.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = (|x| – 1)².

Будуємо графік функції  у = х² і паралельно переносимо графік праворуч на  1  одиницю вздовж осі  х  й одержуємо графік функції

у = (х – 1)².

Залишаємо ту частину графіка, яка відповідає невід’ємним значенням  х. Симетрично відображаємо відносно осі  у  частину отриманого графіка для невід’ємних  х  й одержуємо графік функції

у = (|x| – 1)².

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = 5|x| – 3.

Будуємо графік функції  у = 5х і паралельно переносимо графік праворуч на  3  одиницю вздовж осі  х  й одержуємо графік функції

у = 5x – 3.

Залишаємо ту частину графіка, яка відповідає невід’ємним значенням  х. Симетрично відображаємо відносно осі  у  частину отриманого графіка для невід’ємних  х  й одержуємо графік функції

у = 5|x| – 3.

Завдання до уроку 30

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Координатна площина
• Урок 2. Діаграми
• Урок 3. Графіки
• Урок 4. Множини
• Урок 5. Що таке функція ?
• Урок 6. Аналітичній спосіб задання функції
• Урок 7. Табличний спосіб задання функції
• Урок 8. Графічний спосіб задання функції
• Урок 9. Знаходження області визначення і області значення функції аналітичним способом
• Урок 10. Знаходження області визначення і області змині за допомогою графіка
• Урок 11. Нулі функції
• Урок 12. Зростання і спадання функції
• Урок 13. Екстремальні значення функцій
• Урок 14. Симетричні функції
• Урок 15. Парні і непарні функції
• Урок 16. Функція, зворотна даною
• Урок 17. Лінійна функція
• Урок 18. Графік лінійної функції
• Урок 19. Пряма пропорційність
• Урок 20. Графік прямої пропорціональності
• Урок 21. Взаємне розташування графіків лінійних функцій
• Урок 22. Функція обернено пропорціональної залежності
• Урок 23. Графік функції обернено пропорціональної залежності
• Урок 24. Квадратична функція
• Урок 25. Графік функції  у = aх² + b
• Урок 26. Графік функції  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. Графік функції  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функція  у = √͞͞͞͞͞х   і її графік
• Урок 29. Функція  у = хⁿ   і її графік