Урок 13. Екстремальні значення функцій

воскресенье, 7 мая 2017 г.

Урок 13. Екстремальні значення функцій

Досліджуючи поводження функції поблизу деякої точки, зручно користуватися поняттям околу.

Околом точки а називається будь-який інтервал, що містить цю точку.

ПРИКЛАД:

Інтервал

(2; 6) – один з околів точки 3.

Інтервал

(–3,3; –2,7) – окіл точки –3.

ПРИКЛАД:

Вивчаючи графік малюнка, можна прийти до висновку, що <<найпомітнішими>> точками області визначення є такі точки х, в яких зростання функції змінюється спаданням (точки 3 і 5) або, навпаки, спадання змінюється зростанням (точка 4).

Розрізняють найбільше (найменше) значення функції на деякому проміжку та її максимум (мінімум).

ПРИКЛАД:

Функція, яка представлена графічно на рисунку, на сегменті [–3; 6] має найбільше значення в точці х = 1 і найменше – в точці х = 6.

Найменше значення даної функції не є її мінімум (локальним). Дана функція має мінімум в точці х = 3, а максимум – в точках

х = 1 і х = 4.

Подамо точні означення точок екстремуму.

ОЗНАЧЕННЯ:

Точка х₀ називається точкою максимуму функції f, якщо для всіх х з деякого околу х₀ виконується нерівність

f(x) < f(х₀).

За означенням значення функції f в точці максимуму х₀ є найбільшим серед значень функції з деякого околу цієї точки, тому графік функції в околі х₀, як правило, має вигляд гладенького <<горба>> (мал. 4), або загостреного <<піка>> (мал. 3).

Максимум функції – це її значення в такій точці, в якій воно є найбільшим у будь-якій скільки завгодно малій околиці цієї точки.

Значення

у_max = f(х_max)

називається максимумом функції.

ОЗНАЧЕННЯ:

Точка х₀ називається точкою мінімуму функції f, якщо для всіх х з деякого околу х₀ виконується нерівність

f(x) ≥ f(х₀).

В околі точки мінімуму графіки, як правило, зображаються у вигляді <<западини>>, або загостреної (мал. 1), або гладенької (мал. 2).

Мінімум функції – це значення функції в такій її точці, в якій воно є найменшим у будь-кому, скільки завгодно малій околиці цієї точки.

Значення

у_min = f(х_min)

називається мінімумом функції.

Інші приклади поводження графіків функції у точках приведені нижче.

а – точка максимуму

а – точка мінімуму

Тут кожна точка проміжку (–1; 0) є як точкою мінімуму, так і точкою максимуму.

Для точок максимуму і мінімуму функції прийнято спільну назву – їх називають точками екстремуму. Значення функції в цих точках називають відповідно максимумами і мінімумами функції (загальна назва – екстремум функції). Точки максимуму позначають х_max, а точки мінімуму х_min. Значення функції в цих точках позначають відповідно у_max і у_min.

х_max – точка максимуму

у_max – максимум

х_min – точка мінімуму

у_min – мінімум

х_max,х_min – точки екстремуму

у_max, у_min– екстремуми

Функція f(x) у точці х = с має максимум (мінімум), якщо в області визначення її можна вказати такий інтервал, для якого с є внутрішньою точкою і для всіх відмінних від с точок х цього інтервалу

f(x) < f(c)

[f(x) > f(c)].

З цього визначення виходить, що значення функції в крайніх точках області її визначення може бути найбільшим або найменшим, але не може бути ні максимумом, ні мінімумом.

ПРИКЛАД:

Визначити точки екстремуму функції

Знаменник √͞͞͞͞͞х + 1 найменший при х = 0. В цьому випадку значення функції у буде найбільшим. Однак це найбільше значення функції не є її максимумом (локальним), оскільки х = 0 є крайньою точкою області визначення даної функції. Мінімум функція також не має.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік лінійної функції і назвати найбільше і найменше значення функції.

у = –2х + 1,

х ∈ [–3; 2].

у_наиб = 7,

у_наим = –3.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік лінійної функції і назвати найбільше і найменше значення функції.

у = –2х + 1,

х ∈ (–3; 2).

Найбільшого і найменшого значення функції немає, оскільки обидва кінці відрізку, в яких якраз і досягалися найбільше і найменше значення, виключені з розгляду.

ПРИКЛАД:

Якого найбільшого значення набуває функція ?

f(x) = –9х² – 6х + 19.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

–9х² – 6х + 19 =

= –(3х + 1)² + 20.

Дана функція набуває найбільшого значення, коли

3х + 1 = 0.

Це значення дорівнює 20.

ПРИКЛАД:

Якого найменшого значення набуває функція ?

f(x) = 9х² – 18х – 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

9х² – 18х – 1 =

= 9х² – 18х + 9 – 10 =

= (3х – 3)² – 10.

Даний вираз набуває найменшого значення, коли

3х – 3 = 0.

Це значення дорівнює –10.

ПРИКЛАД:

Якого найбільшого значення набуває функція ?

f(x) = 4х³ – х⁶ + 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

f(x) = 4х³ – х⁶ + 1 =

= –х⁶+ 4х³ – 4 + 5 =

= –(х³ – 2)² + 5.

Перший доданок перетвореної функції менший або дорівнює 0 для всіх х, тому найбільшого значення функція набуває при

–(х³ – 2)² = 0, х³ – 2 = 0,

Завдання до уроку 13

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 7 мая 2017 г.