четверг, 27 октября 2016 г.

Завдання 1. Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня

 1. Площа прямокутника дорівнює  20 см2, а його діагональ – 18 см. Яка з наведених систем рівнянь відповідає умові задачі, якщо сторони прямокутника позначити через  х см  та  у см ?


  2. Двоє трактористів можуть зорати поле, працюючи разом, за  6 год. За скільки може зорати це поле кожний тракторист, працюючи самостійно, якщо одному з них для того, щоб зорати  2/5  поля, треба на  4 год. Більше, ніж іншому, щоб зорати  1/5  поля ?

  а)  13 год,  10 год;
 б)  15 год,  10 год;
 в)  15 год,  11 год;
 г)  16 год,  12 год.

 3. Діагональ прямокутника дорівнює  10 см, а його периметр дорівнює  28 см. Знайдіть сторони прямокутника.

 а)  6 см,  8 см;
 б)  5 см,  7 см;
 в)  7 см,  9 см;
 г)  4 см,  9 см.

 4. Першому робітнику для виконання завдання потрібно на  4 год менше, ніж другому. Перший робітник пропрацював  2 год, а потім його змінив другий. Після того як другий робітник пропрацював  3 год, виявилося, що виконано  1/2  завдання. За скільки годин може виконати це завдання кожний робітник, працюючи самостійно ?

 а)  3,  6;      
 б)  4,  7;
 в)   3,  5;      
 г)  5,  8.              

 5. З міста  А  в місто  В, відстань між якими дорівнює  320 км, виїхав вантажний автомобіль. Через  3 год  після цього з міста  В  у місто  А  виїхав легковий автомобіль, який зустрівся з вантажним через  1 год після свого виїзду. Легковий автомобіль долає відстань між містами  А  і  В  на  1 год 20 хв  швидше, ніж вантажний. Знайдіть швидкість кожного автомобіля.

 а)  80 км/час,  65 км/час;
 б)  80 км/час,  60 км/час;
 в)  75 км/час,  65 км/час;
 г)  70 км/час,  50 км/час.

 6. Першому робітнику для виконання завдання потрібно на  4 год менше, ніж другому. Перший робітник пропрацював  2 год, а потім його змінив другий. Після того як другий робітник пропрацював  3 год, виявилося, що виконано  1/2  завдання. За скільки годин може виконати це завдання кожний робітник, працюючи самостійно ?

 а)  8 год,  14 год;
 б)  9 год,  13 год;
 в)  6 год,  10 год;
 г)  8 год,  12 год.

 7. Один з робітників виконує третину певної роботи на  5 год повільніше, ніж другий четверту частину тієї самої роботи. Якщо робітники працюватимуть разом, то виконають цю роботу за  8 год. За скільки годин може виконати цю роботу кожен робітник, працюючи самостійно ?

 а)  24 год,  12 год;
 б)  22 год,  11 год;
 в)  26 год,  13 год;
 г)  20 год,  10 год.

 8. Із двох міст, відстань між якими  24 км, назустріч один одному вирушили два пішоходи і зустрілися на середині шляху, причому один з них вийшов на одну годину раніше за іншого. Якби пішоходи вийшли одночасно, то вони зустрілися б через  2 год 24 хв. Знайдіть швидкості пішоходів.  

 а)  3 км/час,  6 км/час;
 б)  4 км/час,  6 км/час;
 в)  4 км/час,  5 км/час;
 г)  4 км/час,  5,5 км/час.

 9. Із пункту  А  а пункт  В, відстань між якими дорівнює  180 км, одночасно виїхали два автомобілі. Через  2 год  виявилося, що перший проїхав на  20 км  більше, ніж другий. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, коли відомо, що на весь шлях перший затратив на  15 хв  менше, ніж другий.  

 а)  80 км/час,  90 км/час;
 б)  85 км/час,  90 км/час;
 в)  80 км/час,  100 км/час;
 г)  75 км/час,  95 км/час.

10. Садову ділянку, яка має форму прямокутника,треба обгородити. Визначте довжину огорожі за умови, що довжина ділянки на  15 м  більша за її ширину, а площа її дорівнює  700 м2.

 а)  170 м;      
 б)  90 м;
 в)  140 м;      
 г)  110 м.

11. Одна із сторін прямокутника на  14 см  більша від другої. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його діагональ дорівнює  26 см.  

 а)  22 см,  8 см;
 б)  24 см,  10 см;
 в)  26 см,  14 см;
 г)  25 см,  13 см.

12. Один оператор комп’ютерного набору набирав певний рукопис протягом однієї години, після чого до нього приєднався другий. Через  2 год  після початку роботи другого оператора було набрано половину рукопису. За скільки годин може набрати рукопис кожен оператор, працюючи самостійно, якщо другому оператору на це потрібно на  3 год  більше, ніж першому ?

 а)  8 год,  11 год;
 б)  10 год,  13 год;
 в)  9 год,  12 год;
 г)  9 год,  14 год.
Автор: на Комментариев нет:

Урок 29. Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня

За допомогою систем рівнянь другого ступеня зручно вирішувати багато завдань. Багато завдань, особливо у яких необхідно знайти значення двох величин, зручно вирішувати з допомогою систем рівнянь другого ступеня. При розв'язанні задач за допомогою систем рівнянь надходять так: позначають деякі невідомі числа літерами, використовуючи умову задачі, складають систему рівнянь; вирішують цю систему; тлумачать результат відповідно до умови завдання.

ЗАДАЧА:

Периметр прямокутника дорівнює  80 см. Якщо основу прямокутника збільшити на  8 см, а висоту – на  2 см, то площа прямокутника збільшиться у півтора раза. Яка довжина сторін прямокутника ?

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ:

Нехай основа прямокутника дорівнює  х см, а висота  у см. Периметр прямокутника дорівнює  80 см, тобто:

2х + 2у = 80.

Площа прямокутника дорівнює: 

ху см2.  

Після збільшення сторін основа прямокутника дорівнюватиме:

(х + 8)(у + 2) см2.

За умовою задачі площа прямокутника збільшиться в півтора раза, тобто:

(х + 8)(у + 2) = 1,5ху.

Отже, маємо систему рівнянь:
Розв’язавши її, знайдемо, що:

х1 = 28, у1 = 12;   
х2 = 24, у2 = 16.

Отже, задача має два розв’язки. Сторони прямокутника дорівнюють  28 см  і  12 см  або  24 см  і  16 см.

ЗАДАЧА:

О дев’ятій ранку від пристані відчалив пліт, а о вісімнадцятій – човен, який наздогнав пліт на відстані  20 км  від пристані. О котрій годині човен наздогнав пліт, якщо власна швидкість човна дорівнює  18 км/год ?

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ:

Нехай  х км/год – швидкість течії,  t год – час, за який човен наздогнав пліт, тоді за умовою можна скласти такі рівняння:

х(9 + t) = 20, 
(х + 18)t = 20.

З цих двох рівнянь випливає, що:

х(9 + t) = (х + 18)t,
хt + 9х = хt + 18t,  х = 2t.

Повернемося до рівняння:

х(9 + t) = 20,
2t (9 + t) = 20,
t2 + 9t – 10 = 0.
t =1,  t = –10.

Отже, човен наздожене пліт за одну годину, і це відбудеться о  19  годині.

ЗАДАЧА:

Робітник і учень, працюючи разом, можуть виконати деяке завдання за  2 дні. За скільки днів може виконати це завдання кожен з них, працюючи самостійно, якщо робітнику для виконання  1/3  завдання потрібно на  3 дні менше, ніж учневі на виконання  2/3  завдання ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай робітник сам може виконати завдання за  х днів, а учень – за у днів. Тоді за  1 день робітник виконає  1/х , а учень – 1/у частину роботи. Працюючи разом, за  1 день вони виконають  1/2 частину роботи. Рівняння:

1/х  + 1/у  = 1/2.

Час, необхідний для виконання  1/3  завдання робітником, дорівнює  х/3  днів, а для виконання  2/3  завдання учнем – 2у/3   днів. Рівняння:

х/3  + 3 = 2у/3.

Система:
х1 = –6,  у1 = 1,5 – не задовольняє умову задачі.

х2 = 3,  у2 = 6.

Отже, робітник може виконати завдання за  3 дні, а учень – за  6 днів.

ВІДПОВІДЬ:  3 дні, 6 днів

ЗАДАЧА:

Старший брат мав удвічі більше грошей, ніж молодший. Вони поклали свої гроші на рік на рахунки в різні банки, причому молодший брат знайшов банк, який дає на  5%  річних більше, ніж старшого брата. Знявши свої гроші з рахунків за рік, старший брат отримав  4600 грн, а молодший – 2400 грн. Скільки грошей було б у братів у сумі, якби вони від початку змінили свої банки ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х грн – сума грошей, яку поклав до банку молодший брат, тоді 2х грн – сума грошей, яку поклав до банку старший брат. Нехай, далі, банк старшого брата дає у% річних, тоді банк молодшого брата дає  (у + 5)%  річних.

Отже, через рік на рахунку старшого брата буде
а на рахунку молодшого брата буде
У результаті приходимо до системи рівнянь:
Вирішивши цю систему, отримаємо  х = 2000, у =15. Залишилося отримати відповідь на запитання завдання: скільки грошей було б у братів у сумі, якби вони від початку змінили свої банки? І тут молодший брат поклав свої  2000 грн  у банк під  15%  річних, а старший – 4000 грн  у банк під  20%  річних. Молодший брат наприкінці року отримав би  2300 грн, а старший – 4800 грн. Загалом у них стало б  7100 грн.

ВІДПОВІДЬ:  7100 грн

ЗАДАЧА:

Першому робітнику для виконання завдання потрібно на  4 год  менше, ніж другому. Перший робітник пропрацював  2 год, а потім його змінив другий. Після того як другий робітник пропрацював  3 год, виявилося, що виконано  1/2  завдання. За скільки годин може виконати це завдання кожний робітник, працюючи самостійно ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай перший робітник сам може виконати замовлення за  х год, а другий – за  у год   і  у – х = 4. Тоді за  1 год  перший виконає  1/х, другий – 1/у  частину роботи. Якщо перший робітник виконуватиме завдання  2 год, а другий – 3 год, то разом вони виконають  1/2  частину роботи.

Розв’яжемо систему:
х1 = –2,  х2 = 8,

у1 = 2,  у2 = 12.

х1 = –2  не задовольняє умову задачі. Отже, перший робітник може виконати завдання за  8 год, другий – за  12 год.

ВІДПОВІДЬ:  8 год, 12 год

ЗАДАЧА:

Двоє трактористів можуть зорати поле, працюючи разом, за  6 год. За скільки може зорати це поле кожний тракторист, працюючи самостійно, якщо одному з них для того, щоб зорати  2/5  поля, треба на  4 год. Більше, ніж іншому, щоб зорати  1/5  поля ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай перший тракторист може зорати поле за  х год, а другий за  у год. Тоді за  1 год  перший виконає  1/х, другий –  1/у частину роботи. Працюючи разом, виконують за  1 год  1/6  завдання.

Рівняння:

1/х + 1/у = 1/6, 

2/5 : 1/х = 2х/5 (год)

– час, необхідний для виконання  2/5  завдання першим трактористом,

1/5 : 1/у = у/5 (год)

– час, необхідний для виконання  1/5  завдання другим трактористом.

Рівняння:

2х/5 + у/5 = 4.

Система:
х1 = 4,  х2 = 15,

у1 = –12,  у2 = 10.

х1 = –12  не задовольняє умову задачі. Отже, перший тракторист може виконати завдання за  15 год, другий – за  10 год.

ВІДПОВІДЬ:  15 год, 10 год

ЗАДАЧА:

З міста  А  в місто  В, відстань між якими дорівнює  320 км, виїхав вантажний автомобіль. Через  3 год  після цього з міста  В  у місто  А  виїхав легковий автомобіль, який зустрівся з вантажним через  1 год. після свого виїзду. Легковий автомобіль долає відстань між містами  А  і  В  на  1 год 20 хв. швидше, ніж вантажний. Знайдіть швидкість кожного автомобіля.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х км/год – швидкість легкового автомобіля, у км/год – швидкість вантажного автомобіля. Вантажний автомобіль рухав  3 + 1 = 4 год, легковий – 1 год, і вони проїхали  320 км. Рівняння:

х + 4у = 320.

На весь шлях з  А  у  В  легковий автомобіль затратив  320/х год, а вантажний –  320/у  год. 1 год 20 хв = 4/3 год. Рівняння:

320/у – 320/х = 4/3.

Система:
х = 80,

у1 = 60,  у2 = 320.

х1 = 320  не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість легкового автомобіля становила  80 км/год, вантажного – 60 км/год.

ВІДПОВІДЬ:  80 км/год, 60 км/год
Завдання до уроку 29
Інші уроки:
Автор: на Комментариев нет:
Подписаться на: Сообщения (Atom)