Урок 1. Дійсні числа

воскресенье, 14 декабря 2014 г.

Урок 1. Дійсні числа

Раціональні числа.

У курсі математики часто зустрічалися з різними числами. Числа 1, 2, 3, … , що використовуються за рахунку, утворюють безліч натуральних чисел.

Натуральні числа, протилежні їм числа і нуль становлять безліч цілих чисел.

Крім цілих, нам відомі дробові числа (позитивні та негативні).

Цілі та дробові числа становлять безліч раціональних чисел.

Безліч натуральних чисел зазвичай позначають буквою

Безліч цілих чисел – буквою

Безліч раціональних чисел – буквою

Для того щоб записати, що якесь число належить розглянутій множині, використовують знак ∈.

ПРИКЛАД:

Твердження, що число 2 є натуральним (або, що число 2 належить множині натуральних чисел), можна записати так:

2 ∈ N.

Число –2 не є натуральним; це можна записати за допомогою знака ∉:

–2 ∉ N.

Будь-яке раціональне число, як ціле, і дробове, можна у вигляді дробу.

де m – ціле число, а n – натуральне.

Одне й те раціональне число можна представити у вигляді різними способами. Серед дробів, за допомогою яких записується дане раціональне число, завжди можна вказати дріб із найменшим знаменником. Цей дріб нескоримий. Для цілих чисел такий дріб має знаменник, рівний 1. Якщо при розподілі чисельника на знаменник, у залишку ми не отримуємо 0, скільки б ми не продовжували поділ, то такий дріб перетворюється на нескінченний десятковий дріб. Якщо при розподілі чисельника на знаменник послідовно повторюються залишки однакових цифр, то нескінченні десяткові дроби такого виду називають періодичними. Група цифр, що повторюється, становить період дробу. При записі десяткових періодичних дробів період пишуть один раз, укладаючи його в круглі дужки:

Цей запис читається так: нуль цілих, двісті шістнадцять у періоді.

Кожне дробове число можна уявити або у вигляді десяткового дробу (кінцевого десяткового дробу), або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.

Будь-який кінцевий десятковий дріб і будь-яке ціле число можна записати у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу, приписавши як десяткові знаки нескінченну послідовність нулів. Таким чином,

кожне раціональне число може бути представлене у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.

Правильне і зворотне твердження:

кожен нескінченний десятковий періодичний дріб представляє деяке раціональне число.

Ірраціональні вирази.

Але є дроби, які є періодичними. Такі дроби називаються нескінченними неперіодичними десятковими дробами.

Наприклад, обчислюючи значення числа π, одержують нескінченну неперіодичну десяткову дріб:

π = 3,1415926…

Це число – не раціональне.

Числа, що зображуються нескінченними неперіодичними десятковими дробами, називаються ірраціональними.

Ірраціональні числа бувають і позитивними, і негативними.

Ірраціональні вирази – це вирази, що мають корінь. Тобто це вирази, які мають радикали. Вирази, що містять корінь, який не можна витягти, називаються ірраціональними або радикальними.

ПРИКЛАД:

Нехай відрізок ОК дорівнює діагоналі квадрата, стороною якого є одиничний відрізок.
Побудуємо на діагоналі одиничного квадрата новий квадрат.
З малюнка видно, що площа цього квадрата вдвічі більша за площу одиничного квадрата. Значить, вона дорівнює 2. Оскільки відрізок ОК дорівнює стороні нового квадрата, то довжина відрізка ОК дорівнює числу, квадрат якого дорівнює 2.

При десятковому вимірі відрізка ОК вийде нескінченний десятковий дріб, який не є періодичним. Це пояснюється тим, що серед раціональних чисел немає такого числа, квадрат якого дорівнює 2.

Ірраціональні числа бувають і позитивні та негативні.

Дійсні числа.

Якщо до позитивних неперіодичних нескінченних десяткових дробів приєднати протилежні їм числа і число нуль, то отримаємо безліч чисел, які називають дійсними чи речовими числами.

Безліч дійсних чисел прийнято позначати буквою

Таким чином, безліч дійсних чисел складається з раціональних та ірраціональних чисел.

Багато натуральних, цілих, раціональних і дійсних чисел позначають відповідно літерами N, Z, Q, і R. Кожна з цих множин є підмножиною (частиною) наступної множини. Шкірне натуральне число є водночас і цілим, і раціональним і дійсним. Шкірне ціле число є також раціональним і дійсним.

Взагалі додавання двох дійсних чисел завжди можливе і однозначне.

Множення від'ємних дійсних чисел виконують згідно з правилами, даними для раціональних чисел: добуток двох від'ємних чисел вважається позитивним, а від'ємного та позитивного – від'ємним.

Дії віднімання, ділення і піднесення до ступеня дійсних чисел визначаються так само, як і для раціональних чисел.

Для додавання та множення їх залишаються правильними переставний, сполучний та розподільний закони. Усі правила дій над виразами із змінними, доведені раніше для раціональних значень змінних, залишаються правильними і для довільних дійсних значень цих змінних. За виконання дій над дійсними числами в практичних завданнях їх замінюють наближеними значеннями. Підвищуючи точність, з якою беруться наближені значення, набувають більш точного значення результату. Розв'язуючи прикладні завдання, ірраціональні числа звичайно округляють, відкидаючи їх нескінченні << хвості десяткових знаків >>.

Порівняння дійсних чисел.

Дійсні числа, записані за допомогою нескінченних десяткових дробів, порівнюють за тими самими правилами, що і кінцеві десяткові дроби.

З двох позитивних дійсних чисел, більше те, у якого ціла частина більша.

Якщо цілі частини рівні, великим вважається число, яке має перший з нерівних десяткових знаків більше, проте попередні однакові.

З двох негативних дійсних чисел більшим вважається те, у якого абсолютна величина менша.

Кожне від'ємне число менше нуля та будь-якого позитивного числа.

ПРИКЛАД:

1,4142… > 1,4139 …

–1,4152 … < –1,4139 …

–0,0674 … < 0,00176 …

9,8691 … < 9,87… .

Рівними вважаються такі дійсні числа, які зображуються одним і тим же десятковим дробом.

Дійсні числа можна складати, віднімати, множити і ділити (за умови, що дільник відмінний від нуля), причому дії над дійсними числами мають ті ж властивості, що і дії над раціональними числами. Якщо якийсь доданок раціональний і виражається скінченним десятковим дробом або навіть є цілим числом, його також можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу,приписавши як десяткові знаки нескінченне число нулів.

ПРИКЛАД:

2,3 = 2,300… ,

7 = 7,000… .

Завдання до уроку 1

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 14 декабря 2014 г.