Урок 30. Многокутник

пятница, 12 декабря 2014 г.

Урок 30. Многокутник

ВІДЕОУРОК

Многокутник – геометрична фігура, складена з відрізків

А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, …, А_n_-1А_n, А_nА₁

таким чином, що суміжні відрізки (відрізки, що мають загальні кінці) не лежать на одній прямій, а несуміжні відрізки не мають спільних точок.

Вершини многокутника – точки

А_1,А₂, …, А_n_-1А_n.

Сторони багатокутника – відрізки

А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, …, А_n_-1А_n, А_nА₁.

ПРИКЛАД:

Точки A, B, C, D, E, F, G, Q називають вершинами многокутника, відрізки AB, BC, CD, DE, EF, FG, GQ, QA – сторонами многокутника.

Дві сторони многокутника, які мають спільну вершину, називають суміжними сторонами.

Сума довжин усіх сторін многокутника називається периметром многокутника.

Периметр многокутника позначають буквою Р. Якщо кожна сторона n – кутника дорівнює а, то його периметр можна обчислити за формулою:

Сусідні вершини багатокутника – дві вершини, що належать одній стороні.

Діагоналлю многокутника називають відрізок, якій сполучає дві не сусідні його вершини.

Кутом многокутника при даній вершині називають кут, утворений його сторонами, які сходяться в цій вершині.

∠ A, ∠ B, ∠ C, ∠ D, ∠ E, ∠ F, ∠ G, ∠ Q – кути (або внутрішні кути) многокутника.

Кут, суміжний із внутрішнім кутом многокутника, називають його зовнішнім кутом многокутника.

n – кутник – багатокутник з n вершинами, що має n сторін.

У будь – якого многокутника сторін рівно стільки, скільки вершин, і кутів рівно стільки, скільки вершин. Позначивши кількість вершин многокутника буквою n, можемо дати йому іншу назву – n - кутник. При n = 3 отримаємо трикутник, при n =12 – дванадцятикутник. Многокутник позначають назвами його вершин. При цьому букви, що стоять у назви многокутника поруч, є назвами сусідніх вершин.

Багатокутник позначають назвами його вершин. При цьому літери, що стоять у назві багатокутника поруч, будуть назвами сусідніх вершин.

Наприклад, восьмикутник

ABCDEFGQ

не можна назвати

ACBDEFGQ .

Довжина кожної сторони многокутника менша за суму довжин усіх інших сторін.

Випуклий багатокутник – многокутник, який лежить по одну сторону від кожної прямої, що проходить через дві його сусідні вершини.

Многокутник називають опуклим, якщо він лежить з одного боку від будь – якої прямої, що містить його сторону. Довжина кожної сторони многокутника менша за суму довжин усіх інших сторін.

ABCDE – опуклий многокутник.

FKLMN – не випуклий многокутник.

Властивості опуклого n – кутника.

–  сума зовнішніх кутів опуклого n – кутника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює  360°;
–  з однієї вершини опуклого многокутника виходить (n – 3) діагоналі, які розбивають його на  (n – 2)  трикутники;
–   в опуклому многокутнику є

діагоналі;
– опуклий многокутник існує, якщо сума його кутів кратна 180°.

Сума кутів опуклого n – кутника дорівнює:

Дві сторони многокутника, які мають спільну вершину, називають суміжними сторонами.

У будь – якого многокутника сторін рівно стільки, скільки вершин, і кутів рівно стільки, скільки вершин. Позначивши кількість вершин многокутника буквою n, можемо дати йому іншу назву – n-кутник. При n = 3 отримаємо трикутник, при n =12 – дванадцятикутник. Многокутник позначають назвами його вершин. При цьому букви, що стоять у назви многокутника поруч, є назвами сусідніх вершин.

Наприклад, восьмикутник

ABCDEFGQ

не можна назвати

ACBDEFGQ .

Многокутник називають опуклим, якщо він лежить з одного боку від будь – якої прямої, що містить його сторону.

Довжина кожної сторони многокутника менша за суму довжин усіх інших сторін.

Діагоналлю многокутника називають відрізок, якій сполучає дві не сусідні його вершини.

Сума кутів опуклого n – кутника дорівнює:

ПРИКЛАД:

Многокутник ABCDE.

Кути опуклого 5-кутника – кути

EAB, ABC, BCD, CDE, DEА

Вершини

A, B, C, D, E.

Сторони

AB, BC, CD, DE, EА.

Периметр

Р = AB + BC + CD + DE + EА.

ПРИКЛАД:

ABCD – не є багатокутником, оскільки АС і ВD – несуміжні відрізки – мають загальну точку.

ПРИКЛАД:

ABC – трикутник,
n = 3.

ABCD – чотирикутник,
n = 4.

ABCDEF – шестикутник,
n = 6.

ЗАДАЧА:

Скільки сторін має опуклий n-кутник, кожен кут якого рівний 120° ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Опуклий n-кутник має n кутів і n сторін. Сума кутів n-кутника рівна

(n – 2) × 180°,

або n × 120° по умові.

Отже,

120n = 180n – 360,

60n = 360, n = 6.

ВІДПОВІДЬ: 6 сторін.

Коло, вписане у багатокутник – коло, яке торкається усіх його сторін.

Багатокутник, описаний біля кола,– багатокутник, в який вписано коло.

Коло, описане біля багатокутника, – коло, на якому лежать усі вершини багатокутника.

Багатокутник, вписаний в коло – багатокутник, біля якого описано коло.

ЗАДАЧА:

Многокутник ABCDE вписаний в коло з центром у точці О. Градусна міра дуги АВ дорівнює 100°. Знайдіть кут між діагоналями BD і AD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Проведемо діагоналі BD і AD. Тоді кут BАD – вписаний в коло, а його градусна міра дорівнює половині центрального, на який опирається. Даний центральний кут АОВ опирається на дугу АВ, отже його градусна міра дорівнює градусній мірі дуги АВ і дорівнює 100°. Отже, кут BDА дорівнює 50°.

ВІДПОВІДЬ: 50°

Завдання до уроку 30

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 12 декабря 2014 г.