Урок 16. Системи трьох лінійних рівнянь з трьомя невідомими

вторник, 23 августа 2016 г.

Урок 16. Системи трьох лінійних рівнянь з трьомя невідомими

Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими мають вигляд:

Де a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s – задані числа; x, y, z – невідомі. Числа a, b, c, e, f, g, p, q, r – коефіцієнти при невідомих; d, h, s – вільні члени.

Нормальний вид рівняння першого ступеня з трьома невідомими.

Якщо в рівнянні 1-ої міри з 3 невідомими х, у і z, зробити певні перетворення, то ми приведемо рівняння до такого виду (що називається нормальним), при якому в лівій частині рівняння знаходяться тільки три члени: один з х, інший з у і третій з z, а в правій частині буде один член, не містить невідомий.

ПРИКЛАД:

Рівняння:

5х – 3у – 4z = –12.

Загальний вигляд його наступний:

ах + by + cz = d,
де а, b, с і d які-небудь відносні числа.

Невизначеність двох і одного рівняння з трьома невідомими.

ПРИКЛАД:

Припустимо, нам дана система 2 рівнянь з 3 невідомими:

Призначимо одному невідомому, наприклад z, яке-небудь довільне число, припустимо 1, і підставимо це число на місце z:

Ми отримали таким чином систему 2 рівнянь з 2 невідомими. Вирішивши її яким-небудь способом, знайдемо:

х = 2, у = 3;

значить, ця система з 3 невідомими задовольняється при

х = 2; у = 3; z =1.

Дамо тепер невідомому z яке-небудь інше значення, наприклад z = 0, і підставимо це значення в цю систему рівнянь, отримаємо:

Ми знову отримаємо систему 2 рівнянь з 2 невідомими. Вирішивши її яким-небудь способом, знайдемо:

х = ²⁰/₁₁ = 1⁹/₁₁; у = 2⁴/₁₁.

Значить, ця система задовольняється при:

х = 1⁹/₁₁. у = 2⁴/₁₁, z = 0.

Призначивши для z ще яке-небудь (третє) значення, ми знову отримаємо систему 2 рівнянь з 2 невідомими, з якої знайдемо нові значення для х і у. Оскільки для z ми можемо призначати скільки завгодно різних чисел, то і для х і у можемо отримати скільки завгодно значень (що відповідають узятим значенням z). Значить, 2 рівняння з 3 невідомими допускають незліченну безліч рішень; іншими словами, така система невизначена.

Ще більша невизначеність буде, якщо є всього 1 рівняння c 3 невідомим. Тоді можна буде для яких-небудь 2 невідомих призначити довільні числа; третє ж невідоме знайдеться з цього рівняння, якщо підставити в нього значення, узяті довільно для двох невідомих.
Для того, щоб можна було знайти певні чисельні значення для трьох невідомих х, у і z, необхідно, щоб була задана система 3 рівнянь. Така система може бути вирішена способом підстановки, а також і способом складання або віднімання рівнянь. Покажемо застосування цих способів на наступному прикладі (кожне рівняння заздалегідь приведене до нормального виду):

Спосіб підстановки.

ПРИКЛАД:

З якого-небудь рівняння, наприклад з першого, визначимо одно невідоме, наприклад х, як функцію від двох інших невідомих:

Оскільки в усіх рівняннях х означає одно і те ж число, то ми можемо підставити знайдене вираження на місце х в інші рівняння:

Ми приходимо таким чином до системи 2 рівнянь з 2 невідомими у і z. Вирішивши цю систему по якому-небудь із способів, вказаних раніше, знайдемо чисельні значення для у і z. У нашому прикладі це будуть значення:

у = 3, z = 2;

підставивши ці числа у вираження, виведене нами для х, знайдемо і це невідоме:

Таким чином, запропонована система має рішення

х = 1, у = 3, z = 2.

(у чому можна переконатися перевіркою).

Спосіб складання або віднімання.

З 3 цих рівнянь візьмемо які-небудь два, напр. 1-і і 2-і, і, зрівнявши в них коефіцієнти перед одним невідомим, напр., перед z, виключимо з них це невідоме способом складання або віднімання; від цього отримаємо одно рівняння c 2 невідомими х і у. Потім, візьмемо які-небудь два інші рівняння з 3 даних, напр. 1-і і 3-і (чи 2-і і 3-і), і тим же способом виключимо з них те ж невідоме т. е. z; від цього отримаємо ще одно рівняння з х і у:

Вирішимо два рівняння, що вийшли:

x = 1, у = 3.

Вставимо ці числа в одно з трьох цих рівнянь, наприклад, в перше:

3 × 1 – 2 × 3 + 5z = 7;
5z = 7 – 3 + 6 = 10;
z = 2.

Зауваження.

Тими ж двома способами ми можемо привести систему 4 рівнянь з 4 невідомими до системи 3 рівнянь з 3 невідомими (а цю систему – до системи 2 рівнянь з 2 невідомими і т. д.). Взагалі систему m рівнянь з m невідомими ми можемо привести до системи m – 1 рівнянь з m – 1 невідомими (а цю систему до системи m – 2 рівнянь з m – 2 невідомими і т. д.).

Деякі особливі випадки систем рівнянь.

Випадок, коли не усі невідомі входять в кожне з цих рівнянь.

ПРИКЛАД:

В цьому випадку система вирішується швидше, ніж звичайно, оскільки в деяких рівняннях вже виключені ті або інші невідомі. Потрібно тільки зміркувати, які невідомі і з яких рівнянь слід виключити, щоб можливо швидше дійти до одного рівняння з одним невідомим. У нашому прикладі, виключивши z з 1-го і 3-го рівнянь і v з 2-го і 1-го, отримаємо 2 рівняння з х і у:

Вирішивши ці рівняння, знайдемо:

х = 0, y = ¹/₃.

Тепер вставимо ці числа в 2-і і 3-і рівняння, тоді отримаємо:

v = ³/₂, z = ¹⁶/₉= 1⁷/₉.

Випадок, коли корисно усі ці рівняння скласти.

ПРИКЛАД:

Склавши усі три рівняння, знайдемо:

Віднявши з останнього рівняння кожне з даних, отримаємо:

ПРИКЛАД:

Вирішити систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

При рішенні систем лінійних рівнянь зручно користуватися методом Гауса, який полягає в перетворенні системи до трикутного виду.

Множимо перше рівняння системи на –2 і, складаючи отриманий результат з другим рівнянням, отримуємо

– 3у + 6z = –3.

Це рівняння можна переписати у виді

у – 2z = 1.

Складаючи перше рівняння з третім, отримуємо 7у = 7, або у = 1.

Таким чином, система набула трикутного вигляду:

Підставляючи у = 1 в друге рівняння, знаходимо z = 0. Підставляючи у = 1 і z = 0 в перше рівняння, знаходимо х = 1.

ВІДПОВІДЬ: (1; 1; 0)

ПРИКЛАД:

Розв'язати систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо метод підстановки. Виразимо з першого рівняння х через у і z і підставимо результат другого і третього рівняння системи.
Останні два рівняння отриманої системи у свою чергу утворюють систему двох рівнянь із двома невідомими. Вирішимо цю систему методом підстановки.
З рівняння

z² – 4z + 3 = 0

знаходимо

z₁ = 1, z₂ = 3.

З рівняння у = z – 3 отримуємо відповідно

у₁ = –2, у₂ = 0,

а з рівняння х = 2 – у – z знаходимо

х₁ = 3, х₂ = –1.

Отримали два рішення вихідної системи:

(3; –2; 1) і (–1; 0; 3).

Завдання до уроку 16

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 23 августа 2016 г.