Урок 15. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь

За допомогою систем рівнянь зручно вирішувати багато завдань. Багато завдань, особливо в яких треба знайти значення двох величин, зручно розв'язувати за допомогою систем рівнянь. При розв'язанні задач за допомогою систем рівнянь надходять так: позначають деякі невідомі числа літерами, використовуючи умову задачі, складають систему рівнянь; вирішують цю систему; тлумачать результат відповідно до умови завдання.

Багато задач, особливо в яких треба знайти значення двох величин, зручно розв’язувати за допомогою систем рівнянь.

ЗАДАЧА:

Для годівлі  8  коней і  15  корів відпускали щоденно  162 кг  сіна. Скільки сіна щоденно видавали кожному коневі і кожній корові, якщо  5  коней з’їдали щоденно сіна на  3 кг  більше, ніж  7  корів ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай для коня відпускали щоденно  х, а для корови  у  кілограмів сіна. Тоді з першої частини умови виходить рівняння:

8х + 15у = 162,

а з другої:

5х – 7у = 3.

Розв’яжемо систему цих рівнянь:

ВІДПОВІДЬ:  9  і  6 кг  сіна.

ЗАДАЧА:

Річковий пароплав за течією йшов з швидкістю  16 км/год, а проти течії – з швидкістю  12 км/год. Визначити швидкість пароплава і швидкість течії річки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

16 – число, яке виражає суму швидкостей пароплава і течії річки,

12 – число, що виражає різницю цих швидкостей.

Умову задачі можна записати так:

х – швидкість руху пароплава,

у – швидкість руху води в річці.

Тоді з першої частини умови завдання виходить рівняння:

х + у = 16,

а з іншого:

х – у = 12.

Розв'яжемо систему цих рівнянь:

х = 16 – у,

(16 – у) – у = 12,

4 = 2у, у = 2.

х = 16 – у = 16 – 2 = 14.

ВІДПОВІДЬ:

Швидкість пароплава  14 км/год, швидкість течії річки  2 км/год

ЗАДАЧА:

Вкладник поклав у банк гроші на два різних рахунки, по одному з яких нараховували  5%  річних, а по другому – 4%, і отримав через рік за двома вкладами  1160 грн  прибутку. Якби внесені на різні рахунки кошти поміняли місцями, то річний прибуток становив би  1180 грн. Скільки всього грошей було покладено в банк ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай вкладник поклав  х грн.  на перший рахунок, а на другий – у грн. Через рік з першого рахунку він отримав  0,05х грн., а з другого – 0,04у грн. відсоткових грошей, що в сумі становило  1160 грн. Одержимо рівняння:

0,05х + 0,04у = 1160.

Якщо внесені на різні рахунки кошти поміняти місцями, то одержимо рівняння:

0,04х + 0,05у = 1180.

Розв’яжемо систему:

0,09х + 0,09у = 2340,

0,09(х + у) = 2340,

х + у = 26000.

Отже, вкладник вніс до банку  26000 грн.

ВІДПОВІДЬ:  26000 грн.

ЗАДАЧА:

Два пішоходи йдуть назустріч один одному з двох пунктів, відстань між якими дорівнює  30 км. Якщо перший вийде на  2 год раніше другого, то зустріч відбудеться через  2,5 години після виходу другого. Якщо ж другий пішохід вийде на  2 год  раніше першого, то зустріч відбудеться через  3 год  після виходу першого. З якою швидкістю йде кожен пішохід ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х км/год – швидкість першого пішохода, а  у км/год – швидкість другого пішохода. Якщо перший вийде на  2 години раніше за другу, то, згідно з умовою, він йтиме до зустрічі  4,5 год, тоді як другий – 2,5 год. За  4,5 год  перший пройде шлях  4,5х км, а за  2,5 години другий пройде шлях  2,5 км. Їхня зустріч означає, що сумарно вони пройшли шлях  30 км, тобто

4,5х + 2,5у = 30 – перше рівняння.

Якщо другий вийде на  2 год  раніше за першого, то, згідно з умовою, він йтиме до зустрічі  5 год, тоді як перший – 3 год. Розмірковуючи, як і вище, перейдемо до другого рівняння:

3х + 5у = 30.

У результаті отримуємо систему рівнянь:

Помножимо на  2  перше рівняння:

9х + 5у = 60,

Віднімемо друге рівняння з першого:

9х + 5у – (3х + 5у) = 60 – 30,

9х + 5у – 3х – 5у = 30,

9х  – 3х = 30,  6х = 30,  х = 5.

Знайдемо з другого рівняння, попередньо підставивши замість  х число  5:

3 ∙ 5 + 5у = 30,

5у = 30 – 15,  у = 3.

ВІДПОВІДЬ:  перший пішохід йде зі швидкістю  5 км/год, а другий – 3 км/год.

ЗАДАЧА:

За  5 кг  цукерок і  4 кг  печива заплатили  310 грн. Скільки коштує  1 кг  цукерок і скільки  1 кг  печива, якщо  3 кг  цукерок дорожчі за  2 кг  печива на  76 грн ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  1 кг  цукерок коштує  х грн., а  1 кг  печива – у грн.

Так як за  5 кг  цукерок і  4 кг  печива заплатили  310 грн., то перше рівняння буде наступне:

5х + 4у = 310,

Якщо  3 кг  цукерок дорожчі за  2 кг  печива на  76 грн., то друге рівняння буде виглядати так:

3х – 2у = 76.

Складемо і розв’язуємо систему рівнянь:

Додавши перше рівняння до другого, і знайдемо  х:

11х = 462, х = 42.

Знайдемо з другого рівняння, попередньо підставивши замість  х  число  42:

3 ∙ 42 – 2у = 76,

2у = 126 – 76,

2у = 50, у = 25.

Отже, 1 кг  цукерок коштує  42 грн., а  1 кг  печива – 25 грн.

ВІДПОВІДЬ:  42 грн., 25 грн.

ЗАДАЧА:

Із села  А  в село  В, відстань між якими дорівнює  70 км, виїхав мотоцикліст. За  10 хв до цього назустріч йому із села  В  виїхав велосипедист, який зустрівся з мотоциклістом через  1 год  після свого виїзду. Знайдіть швидкість кожного з них, якщо мотоцикліст за  2 год  проїжджає на  104 км  більше, ніж велосипедист за  4 год.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х км/год – швидкість велосипедиста, у км/год – швидкість мотоцикліста. Велосипедист до зустрічі рухався  1 год, мотоцикліст – 1 год  і  10 хв = ⁵/₆ (год). Вони проїхали  70 км. Рівняння:

х + ⁵/₆ у = 70,

х + 5у = 420.

За  2 год  мотоцикліст проїжджає  2у км, а велосипедист за  4 год – 4х км.

Рівняння:

2у – 4х = 104,

у – 2х = 52.

Складемо і розв’язуємо систему рівнянь:

Отже, швидкість велосипедиста становить  10 км/год, мотоцикліста – 72 км/год.

ВІДПОВІДЬ:  10 км/год, 72 км/год

ЗАДАЧА:

З першого поля зібрали по  40 ц  ячменю з гектара, а з другого – 35 ц  з гектара. Усього було зібрано  2600 ц. Наступного року урожайність першого поля збільшилась на  10%, другого – на  20%, а весь зібраний урожай збільшився на  400 ц. Знайдіть площу кожного поля.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х га – площа першого поля, а  у га – площа другого поля. Тоді з першого поля зібрали  40х ц  ячменю, із другого – 35у ц. Після збільшення врожайності з першого поля зібрали

(40 + 0,1 ∙ 40)х ц,

з другого –

(35 + 0,2 ∙ 35)у ц.

Складаємо систему рівнянь:

Помножимо перове рівняння на  –3.

–24х – 21у = –1560.

Складемо обидва рівняння і знайдемо  х:

–24х – 21у + 22х + 21у = –1560 + 1500,

–24х + 22х = –60,  –2х = –60,  х = 30.

Знайдемо  у  з першого рівняння, попередньо підставивши замість  х  число  30:

8 ∙ 30 + 7у = 520,

7у = 520 – 240,

7у = 280, у = 40.

Отже, площа першого поля становить  30 га, а другого – 40 га.

ВІДПОВІДЬ:  30 га, 40 га

ЗАДАЧА:

Два трактори різних потужностей при спільній роботі виорали за  15 год  ¹/₆  всього поля. Якби перший трактор працював  12 год, а другий – 20 год, то вони виорали б  20%  всього поля. За скільки часу може виорати все поле кожний трактор окремо ? Площу поля приймаємо за одиницю.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Площу поля приймаємо за одиницю. Нехай перший трактор виоре  все поле за  х год, а другий – за  у год. Тоді продуктивність першого дорівнюватиме  ¹/_х, а другого  ¹/_у. За умовою задачі маємо:

Від другого рівняння віднімемо перове, отримаємо:

60х = 0,5ху,

Підставимо у друге рівняння  у = 120, знайдемо  х:

360 + 5х = 6х,

х = 360.

ВІДПОВІДЬ:  360 год, 120 год

Завдання до уроку 15

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Лінійне рівняння з одним невідомим і цілими вільними членами
• Урок 2. Лінійне рівняння з одним невідомим і дрібними вільними членами
• Урок 3. Застосування правил визначення невідомого доданка, зменшуваного і від'ємника для розв'язання задач
• Урок 4. Застосування правил визначення невідомого множника для розв'язання задач
• Урок 5. Розв'язування рівнянь, що зводяться до лінійних
• Урок 6. Розв'язування рівнянь із змінною в знаменнику
• Урок 7. Застосування правил визначення діленого і дільника для розв'язання задач
• Урок 8. Лінійне рівняння з двома невідомими
• Урок 9. Рішення лінійних рівнянь за допомогою графіків
• Урок 10. Лінійне рівняння з параметром
• Урок 11. Системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими
• Урок 12. Розв'язання систем рівнянь способом підстановки
• Урок 13. Розв'язання систем рівнянь способом алгебраїчного додавання
• Урок 14. Рішення лінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 16. Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
• Урок 17. Повне квадратне рівняння загального вигляду
• Урок 18. Зведене квадратне рівняння
• Урок 19. Теорема Вієта
• Урок 20. Неповні квадратні рівняння
• Урок 21. Розв'язання квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена
• Урок 22. Графічний спосіб розв'язування квадратних рівнянь
• Урок 23. Квадратний тричлен
• Урок 24. Квадратні рівняння з параметрами
• Урок 25. Дробові раціональні рівняння
• Урок 26. Задачі на складання квадратних рівнянь
• Урок 27. Рівняння кола
• Урок 28. Системи рівнянь другого степеня є двома невідомими
• Урок 29. Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня
• Урок 30. Перетин прямої з колом
• Урок 31. Рішення нелінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 32. Системи рівнянь з параметрами
• Урок 33. Рівняння вищих степенів
• Урок 34. Розв'язання рівнянь способом заміни
• Урок 35. Розв'язання систем рівнянь способом заміни
• Урок 36. Задачі на знаходження чисел
• Урок 37. Задачі на знаходження цифр
• Урок 38. Рішення задач на змішування за допомогою рівнянь
• Урок 39. Рішення задач на змішування за допомогою систем рівнянь
• Урок 40. Ірраціональні рівняння