Урок 17. Повне квадратне рівняння загального вигляду

среда, 24 августа 2016 г.

Урок 17. Повне квадратне рівняння загального вигляду

Квадратним рівнянням (рівнянням другого степеня з однією змінною) називають рівняння виду:

де х – змінна, а, b, с – відомі числа, до того ж а ≠ 0.

Коефіцієнт с називається вільним членом, ах² – старшим членом, bх – членом, якій містить перший степінь невідомого.

Якщо b ≠ 0, c ≠ 0, то квадратне рівняння називають повним квадратним рівнянням.

Квадратне рівняння можна розв’язувати за формулою:

Корінь повного квадратного рівняння загального вигляду дорівнює дробові, чисельником якого є коефіцієнт при невідомому в першому степені, взятий з протилежним знаком, плюс – мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без почетвереного добутку коефіцієнта при невідомому в другому степені на вільний член, а знаменник є подвоєний коефіцієнт при невідомому в другому степені.

Вираз b² – 4ac, що входить у цій формулі під радикал, називається дискримінантом квадратного рівняння загального вигляду. Його звичайно позначають буквою D, а формулу коренів записують так:

Кількість коренів квадратного рівняння залежить від значення дискримінанта.

– якщо D < 0, то дане рівняння не має коренів: не існує такого значення х, при якому значення виразу

(2ах + b)² було б від’ємним;

– якщо D = 0, то 2ах + b = 0, звідки:

єдиний корінь.

– якщо D > 0, то дане квадратне рівняння рівносильне рівнянню:

звідки

або

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються тільки знаками перед √͞͞͞͞͞D . Коротко записують їх так:

На прикладах покажемо, як можна застосувати загальну формулу коренів для розв’язування квадратних рівнянь.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

3х² + 11х + 6 = 0.

Тут

а = 3, b = 11, с = 6.

За формулою маємо:

Можна записувати інакше:

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

Зведемо дане рівняння до стандартного вигляду, а потім скористаємося формулою:

72х + 6(х² – 6х + 9)

= 3(х² + 6х + 9) + 8(х² – 1);

72х + 6х² – 36х + 54

= 3х² + 18х + 27 + 8х² – 8;

–5х² + 18х + 35 = 0;

5х² – 18х – 35 = 0.

х₁ = 5; х₂ = –1,4.

ПРИКЛАД:

Не розв'язуючи рівняння, визначити, скільки дійсних коренів воно має:

4х² + 6х + 9 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

D = 6² – 4 × 4 × 9

= 36 – 144 < 0.

Рівняння не має дійсних коренів.

ПРИКЛАД:

Не розв’язуючи рівняння, визначити, скільки дійсних коренів воно має:

2х² – 3х + 1 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

D = (–3)² – 4 × 2 × 1

= 9 – 8 > 0.

Рівняння має два дійсні різні корені.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

3х² – 5х + 2 = 0.

D = 25 – 24 = 1, D > 0,

ВІДПОВІДЬ:

x₁ = 1, x₂ = ²/₃

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

5х² – х + 1 = 0.

D = 1 – 20 = –19,
D < 0,

ВІДПОВІДЬ:

Коренів немає.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

2х² + 5х – 1 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

D = 25 – 4 ∙ 2 ∙ (–1) = 33 > 0,

ВІДПОВІДЬ:

Інший вигляд формули коренів квадратного рівняння.

Корені квадратного рівняння:

ах² + bx + c = 0

можна знайти, як відомо, за формулою:

Іноді для розв'язання квадратних рівнянь зручно користуватись формулою коренів, записаною в іншому вигляді. Поділимо чисельник і знаменник дробу

На 2 і внесемо множник ¹/₂ під знак кореня. Дістанемо:

Оскільки

тобто:

Формула коренів квадратного рівняння набере вигляду:

Формулою, яку записано в такому вигляді, можна користуватися для розв'язання будь-якого квадратного рівняння, дискримінант якого невід’ємний. На практиці, як правило, її застосовують тоді, коли b – парне число і, отже ^b/₂ – ціле число.

ПРИКЛАД:

Нехай треба розв'язати рівняння:

9х² – 14х + 5 = 0.

Застосуємо формулу:

Зауважимо, що використання формулі

привело б до складніших обчислень.

ПРИКЛАД:

Розв'яжемо рівняння:

5х² + 8х + 6 = 0.

У цьому рівнянні

^b/₂ = 4, а = 5, с = 6.

^D/₄= 4² – 5 × 6 = –14.

Ми знайшли, що ^D/₄ – від’ємне число. Оскільки дискримінант від’ємний, то рівняння не має коренів.

ПРИКЛАД:

Скільки коренів має рівняння ?

54х² – 5х – 19 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо дискримінант за формулою:

D = b² – 4ac =

= (–5)² – 4 ∙ 54 ∙ (–19) =

= 25 + 4 ∙ 54 ∙ 19 > 0.

Оскільки дискримінант більший за нуль, значить, рівняння має два корені.

ПРИКЛАД:

Чому дорівнює сума коренів квадратного рівняння ?

2х² + 6х – 15 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо коріння квадратного рівняння:

Знайдемо суму коренів квадратного рівняння:

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

2х² – 5х + 2 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тут а = 2, b = –5, с = 2.

Маємо:

Оскільки D > 0, то рівняння має два корені, які знайдемо за такою формулою:

коріння заданого рівняння.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

х² – 6х + 9 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тут а = 1, b = –6, с = 9.

Знайдемо коріння за такою формулою:

Завдання до уроку 17

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 24 августа 2016 г.