Урок 13. Розвязання систем рівнянь способом алгебраїчного додавання

Якщо коефіцієнти при якомусь невідомому в обох рівняннях однакові за абсолютною величиною, то додаючи обидва рівняння (або віднімаючи одне від одного), можна одержати рівняння з одним невідомим. Розв’язуючи це рівняння, визначають одне невідоме, а підставляючи його в одне з рівнянь системи, знаходять друге невідоме.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему рівнянь:

Тут коефіцієнти при у за абсолютним значенням рівні між собою, але протилежні за знаком. Для одержання рівняння з одним невідомим рівняння системи почленно додаємо:

Одержане значення х = 4 підставляємо в яке-небудь рівняння системи (наприклад, у перше) і знаходимо значення у:

2 × 4 + у = 11;

у = 11 – 8;

у = 3.

Отже, система має розв’язок:

х = 4; у = 3.

Якщо коефіцієнти при невідомих у в рівняннях системи різні за абсолютною величиною, то в обох випадках прирівнюють абсолютні величини коефіцієнтів при одному з невідомих, а потім роблять так само, як і в першому випадку.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему рівнянь:

Прирівняємо коефіцієнти при х. Для цього помножимо перше рівняння на 3, а друге на –2 і додамо одержані рівняння. Розв’язання можна записати так:

4х + 3 × (–2) = –4;

4х = 2;

х = ¹/₂.

ВІДПОВІДЬ:

х = ¹/₂; у = –2.

ПРИКЛАД:

Розв'язати систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Помноживши обидві частини другого рівняння системи на 3, отримаємо рівносильну систему даної:

Складемо рівняння отриманої системи:

З рівняння 11x = 55 знаходимо х = 5. Підставивши це значення рівняння 2x + 3y = 7, знаходимо у = –1.

ВІДПОВІДЬ: х = 5, у = –1

ПРИКЛАД:

Розв'язати систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо обидві частини першого рівняння системи помножити на 2 і відняти отримане рівняння другого рівняння системи, то взаємно знищаться члени, що містять змінні в другому степені,

(2х² + 2у² + x – 3y – 5) – (2х² + 2у² – 4x + 2y) = 0,

5x – 5y – 5 = 0,

x – y – 1 = 0.

ми переходимо до більш простої системи:

Цю систему неважко вирішити шляхом підстановки. Маємо

у = х – 1,

значить:

х² + (х – 1)² – 2x + (х – 1) = 0,

2х² – 3x = 0,

х₁ = 0, х₂ = 1,5.

Якщо х = 0, то

у = х – 1 = 0 – 1 = –1,

Якщо х = 1,5, то

у = х – 1 = 1,5 – 1 = 0,5.

ВІДПОВІДЬ: (0; –1) и (1,5; 0,5)

Завдання до уроку 13

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 6 августа 2016 г.