Урок 28. Системи рівнянь другого степеня з двома невідомими

среда, 26 октября 2016 г.

Урок 28. Системи рівнянь другого степеня з двома невідомими

У загальному вигляді ця система рівнянь записується так:

Найзручніше розв’язувати ії способом підстановки. Для цього досить із другого (лінійного) рівняння виразити одне невідоме через інше і знайдений вираз підставити в перше рівняння. В результаті одержимо квадратне рівняння, розв’язавши яке, знайдемо значення одного з невідомих. Потім, підставивши ці значення невідомого в яке-небудь з даних рівнянь (краще в лінійне), одержимо відповідне значення другого невідомого.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему:

З другого рівняння знаходимо:

х = 2у – 5.

Підставляємо в перше:

2(2у – 5)² + 15(2у – 5)у + 4y² + 43(2у – 5) + 24y + 7 = 0.

Розкривши дужки і звівши подібні члени, одержимо:

42y² – 5у – 158 = 0,

Звідки:

З рівності х = 2у – 5 знайдемо:

Однак багато систем такого вигляду можна розв’язувати також штучними способами.

Розв'язання системи вигляду

ПРИКЛАД:

Значення х і у можна розглядати як корені квадратного рівняння

z² – 5z + 4 = 0.

Маємо z₁ = 1, z₂ = 4. Обидва рівняння системи симетричні відносно х і у, тому одержуємо дві пари розв’язків: якщо один розв’язок

х₁ = 1, у₁ = 4,

то інший, навпаки,

х₂ = 4, у₂ = 1.

ПРИКЛАД:

Тоді х і у будуть коренями квадратного рівняння:

z² – 7z – 18 = 0.

Одержуємо:

z₁ = 9, z₂ = –2.

Тоді х₁ = 9, –у₁ = –2,

або х₁ = 9, у₁ = 2 і
х₂ = –2, –у₂ = 9,

або х₂ = –2, у₂ = –9.

ПРИКЛАД:

Серед рішень (х; у) системи знайти те, для якого сума

(х + у)

максимальна. Вичислити значення цієї суми:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З першого рівняння отримуємо

у = 7 – 2х.

Підставляючи значення у в друге рівняння, отримуємо систему рівнянь

Квадратне рівняння

–2х² + 7х – 6 = 0

має корені

х₁ = 2, х₂ = 1,5.

З першого рівняння отримуємо

у₁ = 3, у₂ = 4.

Рішення мають вигляд

(2; 3) и (1,5; 4).

Найбільша сума

х + у = 1,5 + 4 = 5,5.

ВІДПОВІДЬ: 5,5

Розв'язання системи вигляду

Піднесемо перше рівняння до квадрата і віднімемо від нього друге; одержимо 2ху = а² – b, звідки випливає:

Тепер питання зводиться до розв’язання системи:

розглянутої вище.

Розв'язання системи вигляду

Ця система розв’язується по членним діленням першого рівняння на друге. В результаті дана система замінюється рівнозначною до неї:

тобто зводиться до розв’язання лінійної системи з двома невідомими.

Система двох рівнянь, з яких кожне другого степеня.

Система двох рівнянь другого степеня з двома невідомими має вигляд:

Така система у загальному вигляді не розв’язується елементарно, бо вона зводиться до повного рівняння четвертого степеня.

Розглянемо деякі окремі види систем, що розв’язуються елементарно.

ПРИКЛАД:

Підставивши в перше (або в друге) рівняння ху = 20, одержимо:

х + у = 9.

Тоді із системи рівнянь:

Знаходимо:

х₁ = 5, у₁ = 4
х₂ = 4, у₂ = 5.

Іноді системи розв’язуються способом розкладання лівої частини одного з рівнянь на множники, якщо його права частина дорівнює нулю.

ПРИКЛАД:

Тоді:

(х – 2)(у – 1) = 0, або
х – 2 = 0, або

у – 1 = 0.

Отже, система зводиться до розв’язання сукупності двох систем рівнянь:

ПРИКЛАД:

Вирішити систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо

a = x + y,

b = xy.

Отримаємо систему рівнянь

або

Звідси

Повертаючись до змінних х і у, отримуємо

Вирішимо цю систему:

y² – 3у + 2= 0,

х₁ = 2, у₁ = 1 и

х₂ = 1, у₂ = 2.

ВІДПОВІДЬ: (2; 1), (1; 2)

ПРИКЛАД:

Вирішити систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо ліві частини рівнянь на множники:

Виразив з другого рівняння (х ≠ 0)

х – у = –³/_х,

тобто

у – х = ³/_х,

і підставивши його в перше рівняння, отримаємо

Звідки

Підставивши значення у в друге рівняння останньої системи, маємо:

–3х² = –3,

х₁ = 1, х₂ = –1,

тоді

у₁ = 4, у₂ = –4.

ВІДПОВІДЬ: (1; 4), ( –1; –4)

ПРИКЛАД:

Вирішити систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З першого рівняння знаходимо

х = 3у + 10.

Підставимо вираз 3у + 10 замість x у друге рівняння системи. Отримаємо:

(3у + 10)² – 24у = 100,

звідки знаходимо

у₁ = 0, у₂ = –4.

Відповідні значення х знайдемо з рівняння 3у + 10.

Якщо у = 0, то х = 10.

Якщо у = –4, то х = –2.

ВІДПОВІДЬ: (10; 0), ( –2; –4)

ПРИКЛАД:

Вирішити систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х = 10, у = 3.

ВІДПОВІДЬ: (10; 3)

ПРИКЛАД:

Вирішити систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х = 4, у = 2.

ВІДПОВІДЬ: (4; 2)

ПРИКЛАД:

Вирішити систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х₁ = –1, х₂ = 3.

у₁ = 3, у₂ = –1.

ВІДПОВІДЬ: (–1; 3), (3; –1)

ПРИКЛАД:

Вирішити систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х₁ = 2, х₂ = 0,7.

у₁ = 1, у₂ = 3,6.

ВІДПОВІДЬ: (2; 1), (0,7; 3,6)

Завдання до уроку 28

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 26 октября 2016 г.