Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков

Каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с переменными  х  и  у, изображается в координатной плоскости точкой, координатами которой служит эта пара чисел (абсциссой служит значение  х, а ординатой – значение  у). Все такие точки образуют график уравнения.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Пусть дано уравнение с двумя переменными  f(х; у) = 0. Если все его решения изобразить точками на координатной плоскости, то получится некоторое множество точек плоскости. Это множество называют графиком уравнения  f(х; у) = 0.

Например,

Графиком уравнения  у – х² = 0  является парабола  у = х².

Графиком уравнения  у – х = 0  является прямая (биссектриса первого и третьего координатных углов).

Графиком уравнения  у – 3 = 0  является прямая, параллельная оси  х.

Графиком уравнения  х + 2 = 0 – прямая параллельная оси  у.

Графиком уравнения

является одна точка  (1; 2), так как координаты только этой точки удовлетворяют этому уравнению.

Алгоритм построения графика уравнения  аx + by = c.

– выбрать любое удобное значение переменной  х = х₁  и из уравнения  аx + by = c  вычислить значение  у = у₁;

– выбрать другое значение переменной  х = х₂  и из уравнения  аx + by = c  вычислить значение  у = у₂;

– на координатной плоскости отметить точки  (х₁; у₁), (х₂; у₂);

– через точки провести прямую – она является искомым графиком.

ПРИМЕР:

Изобразите решения линейного уравнения

–х + у – 2 = 0

точками в координатной плоскости  хОу.

РЕШЕНИЕ:

Несложно подобрать несколько решений:

(3; 5), (2; 4), (1; 3), (0; 2), (–2; 0).

Построим эти точки в координатной плоскости и убедимся, что они лежат на одной прямой.

Эта прямая является графиком уравнения

–х + у – 2 = 0.

ПРИМЕР:

Начертить график уравнения

х – 2у – 4 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Подставим  х = 0  в уравнение, получим:

0 – 2у – 4 = 0,

–2у = 4,  у = – 2.

Подставим  у = 0  в уравнение, получим:

х – 2 ∙ 0 – 4 = 0,

х – 4 = 0,  х = 4.

Отметим полученные точки  (0; –2)  и  (4; 0)  в прямоугольной системе координат.

Проведём через эти точки прямую линию.

Она и будет графиком линейного уравнения

х – 2у – 4 = 0.

ПРИМЕР:

Построить график уравнения

2х – 3у = –6.

РЕШЕНИЕ:

Графиком этого линейного уравнения является прямая. Для построения прямой достаточно знать две её точки.

Подставив в уравнение

2х – 3у = –6

вместо  х  значение  0, получим  –3у = –6, откуда  у = 2.

Подставив в уравнение

2х – 3у = –6

вместо  у  значение  0, получим  2х = –6, откуда  х = –3.

Итак, мы нашли две точки графика:

(0; 2)  и  (–3; 0).

Проведя через них прямую линию, получим график уравнения

2х – 3у = –6.

ПРИМЕР:

Выясним, что представляет собой график уравнения:

3x + 2y = 6.

Выразим переменную  у  через  х:

у = – 1,5х + 3.

Этой формулой задаётся линейная функция, графиком которой служит прямая.

Так как уравнения

3x + 2y = 6 

у = – 1,5х + 3

равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения

3x + 2y = 6.

Графиком любого линейного уравнения

аx + by = c,

у которого хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля, является прямая линия.

Если  b = 0, то эта прямая параллельна оси  у.

Если  а = 0, то эта прямая параллельна оси  х.

ПРИМЕР:

Рассмотрим уравнение:

2x + 0y = 8.

Его решениями служат все пары чисел  (х; у), в которых  х = 4, а  у – любое число, например  (4; 2), (4; 0), (4; –4,5). График уравнения состоит из всех точек, абсцисса которых равна  4, а ордината – произвольному числу. Такие точки образуют прямую, проходящую через точку  (4; 0)  и параллельную оси  у.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

ПРИМЕР:

Построим график уравнения:

3x – 4y = 12.

В этом уравнении коэффициенты при переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая. Прямая определяется двумя точками. Найдём координаты двух каких-либо точек прямой:

если  х = 0,  то  у = –3; 

если  х = 2,  то  у = –1,5. 

Отметим точки  (0; –3)  и  (2; –1,5)  и проведём через них прямую.

Эта прямая – график уравнения

3x – 4y = 12.

Рассмотрим теперь случай, когда в линейном уравнении оба коэффициента при переменных равны нулю.

Уравнение  ax + by = c, в котором оба коэффициента при переменных равны нулю, имеет вид

0x + 0y = c,

При  c = 0  любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком – вся координатная плоскость. При  c ≠ 0  уравнение не имеет решений и его график не содержит ни одной точки.  

ПРИМЕР:

Найдите множество точек координатной плоскости  хОу, координаты   х, у  которых удовлетворяют уравнению:

2х² – 8х + у² + 6у + 17 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Это уравнение имеет единственное решение:

х = 2,  у = –3,

то есть данному уравнению удовлетворяют координаты только одной точки  М(2: –3).

ПРИМЕР:

Найдите множество точек координатной плоскости  хОу, координаты   х, у  которых удовлетворяют уравнению:

|х| = |у|.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение равносильно совокупности уравнений

х = у  и  х = –у.

Искомое множество состоит из всех точек, принадлежащих биссектрисам  I  и  III, а также  II  и  IV  координатных углов.

ПРИМЕР:

Найдите множество точек координатной плоскости  хОу, координаты   х, у  которых удовлетворяют уравнению:

х + |у| = 0,

РЕШЕНИЕ:

Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Первой из них удовлетворяют точки, принадлежащие биссектрисе  II  координатного угла, второй системе – точки, принадлежащие биссектрисе  III  координатного угла.

ПРИМЕР:

Найдите множество точек координатной плоскости  хОу, координаты   х, у  которых удовлетворяют уравнению:

х² + 4х + у² – 6у + 12 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Запишем уравнение в виде:

(х² + 4х + 4) + (у² – 6у + 9) – 1 = 0,

(х + 2)² + (у – 3)² = 1.

Это уравнение окружности с центром в точке  А(–2; 3)  и радиусом  1.

Задания к уроку 9

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем