Урок 17. Комбінації тіл (2)

понедельник, 26 февраля 2018 г.

Урок 17. Комбінації тіл (2)

Нами вже розглянуто прості геометричні тіла: призма, піраміда, циліндр, конус, куля. Але у природі, техніці та геометрії також розглядають і комбінації вказаних геометричних тіл.

ПРИКЛАД:

Багатогранник, описаний навколо кулі.

Куля називається вписаною в багатогранник, а багатогранник – описаним навколо кулі, якщо площини всіх граней дотикаються до кулі.

Основні властивості призми, описаної навколо кулі, такі:

– кулю можна вписати у пряму призму, якщо її основою є багатогранник, у який можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цього кола;

– центр кулі є серединою висоти призми, яка сполучає центр кіл, вписаних у многокутники основ призми.

Об'єм багатогранника, описаного навколо кулі, дорівнює добуткові повної поверхні багатогранника на третину радіуса кулі.

ЗАДАЧА:

Знайти радіус кулі, вписаної в піраміду, основою якої є ромб з діагоналями 6 і 8, а висота піраміди проходить через точку перетину діагоналей основи і дорівнює 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За діагоналями ромба знайдемо його сторону:

Радіус вписаного в ромб круга:

де S – площа ромба, а Р – його периметр. Тоді:

Висота бічної грані піраміди,

де h– висота піраміди, а r – радіус вписаного в основу круга.

Виконавши обчислення, знаходимо, що

Повна поверхня піраміди:

а об'єм піраміди:

Якщо об'єм багатогранника, описаного навколо кулі, дорівнює добуткові повної поверхні багатогранника на третину радіуса кулі:

тоді знайдемо радіус R кулі, вписаної в піраміду:

ВІДПОВІДЬ: 0,48.

Куля називається вписаною в конус, зрізаний конус і циліндр, якщо поверхня кулі дотикається до площин основ цих фігур і до всіх твірних їх бічних поверхонь.

Куля називається описаною навколо конуса, якщо поверхня кулі проходить через вершину конуса, а коло основи конуса лежить на поверхні кулі.

Куля називається описаною навколо циліндра і зрізаного конуса, якщо кола їх основ лежать на поверхні кулі.

Зауважимо, що в конус завжди можна вписати кулю, а навколо циліндра і зрізаного конуса завжди можна описати кулю.

Для інших просторових фігур умови можливості вписати в них і описати навколо них кулі повинні бути в кожному випадку спеціально визначені.

Застосування тригонометричних функцій до розв’язання стереометричних задач.

ЗАДАЧА:

У конус вписано піраміду SАВС.
У трикутнику АВС, ∠ АСВ = 60°, АВ = 2√͞͞͞͞͞3. Висота конуса SН дорівнює 9. Знайдіть об'єм конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В основі конуса лежить коло, яке описано навколо трикутника АВС. Слідство з теореми синусів:

де R – радіус описаного кола,
R = 2.

Знаючи радіус кола, що лежить в основі конуса, можемо знайти його об’єм:

V_кон = ¹/₃ SHπR² = ¹/₃∙ 9∙ π∙ 4 = 12π,

ЗАДАЧА:

Знайдіть об'єм кулі, вписаної в тетраедр з ребром а та двогранним кутом при ребрі основи α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення:

Обсяг кулі знаходимо за такою формулою:

V_шара = ⁴/₃ πR³.

Розв'язання задачі зводиться до знаходження радіусу кулі. Центр кулі, точка О, лежить на висоті піраміди (властивість кулі, вписаної в тетраедр).

Проведемо висоту піраміди РО₁, О₁ – центр кола, описаного біля основи піраміди.

Куля стосується бічної грані тетраедра – РАВ – в деякій точці К, що лежить на апофемі РМ (властивість кулі, вписаної в тетраедр).

Запишемо формулу для знаходження радіуса кола, вписаного в трикутник АВС:

О₁М = ¹/₂ О₁С = ^а/₆√͞͞͞͞͞3.

∠ РМО₁ = α (визначення лінійного кута двогранного кута).

Знайдемо радіус кулі ОО₁ = R із трикутника ОО₁М.

∆ ОО₁М = ∆ ОКМ (за двома катетами), тому

∠ О₁МО = ¹/₂ ∠ РМО₁ = ^α/₂.

З ∆ ОО₁М знаходимо:

R = О₁М ∙ tg ^α/₂ = ^а/₆√͞͞͞͞͞3 ∙ tg ^α/₂.

Об'єм кулі:

V_шара = ⁴/₃ πR³ =

= ⁴/₃ π∙ (^а/₆√͞͞͞͞͞3 ∙ tg ^α/₂)³ =

= ¹/₅₄√͞͞͞͞͞3 πa³∙ tg³ ^α/₂.

ЗАДАЧА:

Дано правильну трикутну піраміду об'єму V. У цю піраміду вписано циліндр так, що одна з його основ належить основі піраміди, а інша основа вписана в переріз піраміди площиною, паралельною основі. Знайдіть найбільший можливий об'єм такого циліндра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дано правильну трикутну піраміду SАВС, об'єм її дорівнює V.

У піраміду вписаний циліндр, нижня основа циліндра належить основі піраміди, а друга – площині перерізу, паралельної основи.

Висоту піраміди позначимо Н, довжину сторони основи – а, висоту циліндра – h, радіус циліндра – r.

Для знаходження найбільшого можливого об'єму циліндра можна виразити об'єм циліндра як функцію, наприклад, висоти циліндра і знайти максимум цієї функції.

Розглянемо переріз А₁В₁С₁ піраміди площиною верхньої основи циліндра. Це правильний трикутник, гомотетичний підставі АВС з коефіцієнтом гомотетії
Сторона перерізу має довжину
а радіус вписаного кола дорівнює: