Урок 9. Об'єм піраміди

вторник, 13 февраля 2018 г.

Урок 9. Об'єм піраміди

Нехай SABC – трикутна піраміда з вершиною S і основою АВС. Доповнимо цю піраміду до трикутної призми з тією же основою й висотою.

Ця призма складена із трьох пірамід даної пірамід SABC і ще двох трикутних пірамід SCC₁B₁ і SCBB₁.

У другої й третьої пірамід рівні основи – ∆ CC₁B₁ і ∆ B₁BC й спільна висота, проведена з вершини S. Тому в них рівні об'єми.

У першої й третьої пірамід теж рівні основи – ∆ SAB і ∆ B₁BS й співпрацюючи висоти, проведені з вершини С. Тому в них теж рівні об'єми.

Виходить, всі три піраміди мають той самий об'єм. Так як сума цих об'ємів дорівнює об'єму призми, то об'єми пірамід рівні

Отже, об'єм будь-якої трикутної піраміди дорівнює однієї третини добутку площі основи на висоту

Нехай тепер маємо будь-яку, не обов'язково трикутну піраміду. Розіб'ємо її основу на трикутники ∆₁, ∆₂, …, ∆_n. Піраміди, у яких основами є ці трикутники, а вершинами – вершина даної піраміди, складають дану піраміду. Об'єм даної піраміди дорівнює сумі об'ємів складових її пірамід. Так як всі вони мають ту ж висоту Н, що й дана піраміда, то об'єм її дорівнює:

Об'єм піраміди дорівнює одній третині добутку площі її основи на висоту.

де S – площа основи, а Н – висота піраміди.

ЗАДАЧА:

Основою піраміди є трикутник зі сторонами

13 см, 20 см і 21 см.

Знайдіть об'єм піраміди, якщо її висота дорівнює 9 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Площу основи знайдемо за формулою Герона.

ВІДПОВІДЬ: 378 см³.

ЗАДАЧА:

В основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом 30°. Знайти об'єм піраміди, якщо середнє за величиною бічне ребро піраміди дорівнює 4 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай QABCD – задана в умові піраміда, АВСD – квадрат, бічні грані QAD і QAB перпендикулярні площині основи.

Оскільки бічні грані QAD і QAB перпендикулярні площині основи, то бічне ребро по якому перетинаються ці грані, також перпендикулярне до основи.

Тому QA = h – висота піраміди. AD ⊥ DC, тому за теоремою про три перпендикуляри QD ⊥ DC. А отже QAD ⊥ DC.

Тому ∠ QDA – кут, що утворює бічна грань QDC із площиною основи. ∠ QDA – 30° (за умовою).

Оскільки ∆ QAD – прямокутний (∠ A = 90°), то

QD > QA. ∆ QDC

– прямокутний (∠ QDC = 90°), тому QD < QC.

Враховуючи також QD = QB (з рівності трикутників QAD і QAB) матимемо, що саме QD – середнє за величиною бічне ребро. За умовою QD = 4 см.

В ∆ QAO, QA = 4 : 2 = 2 (см), використовуючи властивість катета, що лежить проти кута 30°.

Площа основи:

Об'єм піраміди:

ЗАДАЧА:

Основа піраміди – ромб зі стороною а і кутом α. Усі двогранні кути при ребрах основи піраміди дорівнюють β. Знайдіть об’єм піраміди.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Нехай SABCD – задана піраміда.

SО – її висота, ABCD – ромб, сторона якого дорівнює а.

∠ ВСD = ∠ ВАD = α.

Тоді ∠ ВСО = ∠ ОСD = ^α/₂. Оскільки всі двогранні кути при рёбрах основи рівні, то висота піраміди проходить через центр вписаного у ромб кола – точку перетину діагоналей. Проведемо SМ ⊥ DC. За теоремою про три перпендикуляри ОМ ⊥ DC. Тоді ∠ SМО – лінійний кут двогранного кута при ребрі основи. За умовою,

∠ SМО = β.

З ∆ COD (∠ O = 90°):

OC = DC cos ∠ OCD = a cos ^α/₂.

З ∆ OMC (∠ M = 90°):

OM = OC sin ∠ OCM = a cos ^α/₂ sin ^α/₂.

З ∆ SOM (∠ O = 90°):

SO = OM tg ∠ M = ^a/₂ sin αtg β.

S_ABCD = a² sin α.
ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:

Основою піраміди є трикутник зі сторонами

4 см, 5 см і 6 см.

Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайти об'єм піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай QABC – задана в умові піраміда,

АВ = 4 см,
АС = 5 см,
ВС = 6 см.

За відомою властивістю: точка К – основа висоти QК є центром кола, описаного навколо ∆ ABC. АК = R – радіус описаного кола.

∠ QAK = 60° (за умовою).

В ∆ QAK, QK =
R tg∠ QAK = √͞͞͞͞͞3 R (см).

Оскільки

де S – площа трикутника, то маємо:

Завдання до уроку 9

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 13 февраля 2018 г.