Урок 16. Тіла обертання

воскресенье, 25 февраля 2018 г.

Урок 16. Тіла обертання

Тілом обертання у найпростішому випадку називається таке тіло, яке площинами, перпендикулярними до деякої прямої – осі обертання, перетинається по кругах з центрами, що лежать на цій прямої.

Конус можна одержати обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Катет SO, навколо якого відбувається обертання, називається віссю конуса, а гіпотенуза є твірною конуса. Крім того, катет ОD дорівнює радіусу основи конуса, а катет SO дорівнює його висоті:

R = ОD, Н = SO.

Круговий циліндр, конус, куля – приклади тіл обертання.

R = ОD, Н = SO

Знайдемо формулу для обчислення об'єму будь-якого тіла обертання.

Проведемо площину через вісь тіла й уведемо в цій площині декартові координати х, у прийнявши вісь тіла за вісь х. Площина ху перетинає поверхню тіла по лінії, для якої вісь х є віссю симетрії.

Нехай у = (х) – рівняння тієї частини цієї лінії, яка розташована над віссю х. Проведемо через точку (х,0) площину, яка перпендикулярна осі х, і позначимо через V(x) об'єм частини тіла, що лежить ліворуч від цієї площини, V(x) є функцією від х. Різниця

V(x+h) – V(x)

представляє собою об'єм прошарку тіла товщиною h, заключного між двома площинами, які перпендикулярні осі х і проходять через точки з абсцисами х і х+h. Нехай М – найбільше, а m – найменше значення функції f(х) на відрізку [x, x+h]. Тоді розглянутий прошарок тіла містить циліндром із радіусом m і висотою h і міститься в циліндрі з радіусом М і тією же висотою h. Тому

При прагненні висоти h до нуля ліва й права частини останньої нерівності прагнуть до однієї й тієї же величини πf ²(x). Середня ж частина цієї нерівності при прагненні h до 0 прагне до похідної V¹(x) функції V(x). Виходить,

V¹(x) = πf ²(x).

По відомій формулі аналізу

Ця формула й дає об'єм частини тіла, заключної між паралельними площинами х = а й х = b.

Формула Сімпсона.

Якщо площа перерізу S(x) тіла Т площиною перпендикулярною до осі Ох, як функція х має вигляд

S(x) = αx² + βx + γ,

то об'єм такого тіла, що міститься між площинами

х = а і х = b,

дорівнює:

Позначимо площі перерізів:

S_{нижн осн} ≜ S(a) = αа² + βa + γ,

S_{верхн осн} ≜ S(b) = αb² + βb + γ,

Тоді отриманий раніше вираз для обчислення об'єму тіла Т можна представити у вигляді:

Цю формулу називають формулою Сімпсона.

За допомогою формули Симпсона легко отримати вирази для обчислення об'ємів тіл, перерізи яких площиною, перпендикулярною до осі Ох, можна представити у вигляді:

S(х) = αх² + βх + γ.

Зокрема, це об'єми кулі, піраміди, конуса, бо відповідні перерізи цих тіл задовольняють вказану умову.

ПРИКЛАД:

Для кулі радіуса R маємо:

a = –R, b = R,

S(a) = S(b) = 0,
S_c = πR²,

ПРИКЛАД:

У випадку піраміди:

a = 0, b = H,
S(a) = S₀,
S_c = (¹/₂)²S₀,

За допомогою формули Симпсона зручно розв'язувати задачі на обчислення об'ємів частин тіл, що обмежені паралельними перерізами.

ПРИКЛАД:

У випадку зрізаного конуса (з радіусами основ R та r, висотою h) маємо:

a = 0, b = h,
S(a) = πR²,
S(b) = πr²,

Зауважимо, що при обчисленні S_c, ми скористалися тим, що осьовим перерізом зрізаного конуса є трапеція, середня лінія якої дорівнює діаметру перерізу цього конуса площиною

ЗАДАЧА:

Прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють а і b, обертається навколо прямої, що проходить через вершину прямого кута паралельно до гіпотенузи. Знайти поверхню тіла обертання.

Прямокутний ∆ABC (∠ C = 90°) обертається навколо прямої

OO₁ ∥ AB.

Точка С лежить на прямій OO₁. Знайти поверхню тіла обертання, якщо

АС = b і ВС = а.

Поверхня тіла обертання буде складатися з бічної поверхні циліндра ABDE і бічних поверхонь конусів ACE і BCD. Твірну циліндра знайдемо з даного трикутника:

а радіуси основ конусів і циліндрів, які рівні між собою, визначимо з ∆ABC:

CF × AB = AC × CB.

Позначивши CF через R, знайдемо

Тоді поверхня тіла обертання

ВІДПОВІДЬ:

Зрізаний конус може бути утворений обертанням прямокутної трапеції навколо бічної сторони, перпендикулярної до її основ.

Сторона ОО₁, навколо якої обертається трапеція, називається віссю зрізаного конуса, а друга бічна сторона АВ трапеції – твірною зрізаного конуса. Основи трапеції є відповідно радіусами нижньої і верхньої основ зрізаного конуса:

ОА = R, ВО₁ = r.

Поверхню, утворену обертанням більшої сторони АА₁ трапеції ОО₁А₁А називають бічною поверхнею зрізаного конуса.

Кожний відрізок цієї поверхні (а також його довжину), який сполучає найближчі точки кіл основ зрізаного конуса, називають твірними зрізаного конуса. АА₁ і ВВ₁ – твірні зрізаного конуса. Вони рівні між собою.

Куля, так само як циліндр і конус, є тілом обертання. Вин виходить при обертанні півкола навколо його діаметра як оси.

Якщо вісь обертання збігається з радіусом, який обмежує круговий сектор АОС, то одержаний від обертання кульовий сектор називається простим, а якщо вісь обертання не збігається з радіусом, що обмежує круговий сектор СОD, то кульовий сектор називається порожнистим.

Об'єм тіла, одержаного при обертанні плоскої фігури навколо осі.

Об'єм тіла, утвореного плоскою фігурою при обертанні її навколо осі, яка лежить у площині цієї фігури і не перетинає її, дорівнює добутку площі фігури на довжину кола, описаного центром ваги цієї фігури:

V_{тіла
об} = 2πSd_c,

де S – площа фігури, що обертається, а d_c– віддаль від центра ваги фігури до осі обертання.

Якщо ∆ АВС обертається навколо осі МN, яка лежить у площині

трикутника, проходить через його вершину А, але не перетинає сторону ВС, то об'єм тіла, яке утворюється при цьому обертанні, дорівнює добуткові поверхні S_ВС, утвореної протилежною стороною ВС, на одну третину висоти трикутника, опущеної на цю сторону, тобто

Об'єм кульового сектора, сегмента і кулі.

Обом кульового сектора, який одержуємо при обертанні навколо діаметра МN кругового сектора АОВ, є границею, до якої наближається об'єм тіла, утвореного обертанням многокутника, обмеженого радіусами ОА і ОВ і правильною ламаною лінією АСDВ.

Ця ломана вписана в дугу кругового сектор а, і число сторін її необмежено збільшується (тобто довжина кожної з сторін АС, АD, … наближається до нуля).

Об'єм кульового сектора дорівнює добуткові поверхні відповідного кульового пояса (або кульового сегмента) на третину радіуса:

де R – радіус кульового сектора, а Н – висота кульового пояса (сегмента).

Об'єм кулі дорівнює добуткові її поверхні на третину радіуса:

де R – радіус кулі, D – діаметр кулі.

Формулу для об'єму кулі одержимо, поклавши у формулі об'єму кульового сектора

Н = 2R.

Об'єм кульового сегмента дорівнює об'єму циліндра, у якого радіус основи є висотою сегмента, а висота циліндра дорівнює радіусу кулі, зменшеному на третину висоти сегмента, тобто

де h – висота сегмента, а R – радіус кулі.

ЗАДАЧА:

Об’єм тіла обертання, що має висоту 12 см і основами якого є кола радіусів 1 см і 4 см, дорівнює 600 см³. Відомо, що переріз утвореного тіла обертання задовольняє умову

S(x) = αx² + βx + γ.

Знайдіть площу перерізу даного тіла площиною х = const, яка ділить висоту даного тіла навпіл.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

a = 0, b = 12,

S_ниж_._осн_. = πR₁² = π,

S_{верх. осн.} = πR₂² = 16π.

17π + 4S_с = 300,

Завдання до уроку 16

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 25 февраля 2018 г.