Урок 14. Об'єм зрізаного конуса

четверг, 22 февраля 2018 г.

Урок 14. Об'єм зрізаного конуса

Об'єм зрізаного конуса дорівнює сумі об'ємів трьох конусів, які мають однакову висоту із зрізаним конусом, а основи: один – нижню основу цього конуса, другій – верхню, третій – круг, площа якого є середньою геометричною між площинами верхньої нижньої основ:

де Н – висота зрізаного конуса, а R і r – радіуси його основ

Виразимо обсяг усіченого конуса через площі основ.

V_{ус. кон.} = ¹/₃ πH (R² + r² + Rr) =

= ¹/₃ H (πR² + πr² + πRr) =

= ¹/₃ H (S₁ + S₂ + √͞͞͞͞͞S₁S₂),

де S₁ і S₂– площі основ.

ЗАДАЧА:

Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 8 см і 6 см, а його висота – 3 см. Знайдіть об’єм зрізаного конуса.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

V = ¹/₃ H (S₁ + S₂ + √͞͞͞͞͞S₁S₂).

V = ¹/₃ π∙ 3(64 + 36 + √͞͞͞͞͞64∙36) =

= π(100 + 8∙6) = 148π (cм³).

ЗАДАЧА:

Відро у формі зрізаного конуса має радіуси основ – 12 см і 18 см, твірну 20 см. Знайдіть об’єм відра.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Проведемо ВС = ОО₁ = h. Як бачимо з малюнка ∆ АВС – прямокутний, АВ = l = 20 см. Знайдемо АС. Оскільки ВОО₁С – прямокутник (а у прямокутника протилежні сторони рівні, то ВO = RО₁). Звідси можна стверджувати, що

AC = AO₁ – BO = R – r = 18 – 12 = 6 (см).

Оскільки ∆ АВС – прямокутний, то за теоремою Піфагора

h = OO₁ = BC =
V = ¹/₃ H (S₁ + S₂ + √͞͞͞͞͞S₁S₂).

V = ¹/₃ π∙ 19(144 + 324 + √͞͞͞͞͞144∙324) =

≈ 6,3π(468 + 12∙18) ≈ 4309,2π (cм³)

ВІДПОВІДЬ: 4309,2π см³

ЗАДАЧА:

Об’єм зрізаного конуса дорівнює 248π см³, його висота 8 см, а радіус однієї з основ – 4 см. Обчислити бічну поверхню зрізаного конуса.

РЕШЕНИЕ:

Накреслимо креслення.

Бічну поверхню зрізаного конуса обчислимо за формулою:

S_б = π(R₁ + R₂) l,

де R₁, R₂– радіуси основ, l = АВ – твірна. За відомим об’ємом зрізаного конуса

V_{ус. кон.} = ¹/₃ πH (R² + r² + Rr)

та його висотою знайдемо радіус другої основи з рівняння:

248π = ⁸/₃ π (4² + 4R₂ + R₂²),

R₂² + 4R₂ + 16 = 93,

R₂² + 4R₂ – 77 = 0, R₂ = 7 см.

Отже, АО = 4 см, ВО₁ = 7 см, тоді провівши висоту АК прямокутної трапеції АВО₁О, одержимо

ВК = ВО₁ – КО₁ =

= ВО₁ – АО = 7 – 4 = 3 (см).

За теоремою Піфагора з трикутника АКВ (∠ К = 90°)

Таким чином, шукана бічна поверхня зрізаного конуса

S_б = (4 + 7)π√͞͞͞͞͞73 = 11π√͞͞͞͞͞73 (см²).

ВІДПОВІДЬ: 11π√͞͞͞͞͞73 см²

ЗАДАЧА:

У зрізаному конусі радіуси основ і твірна відносяться як

3 : 11 : 17,

а об'єм дорівнює 815π см³. Знайти повну поверхню зрізаного конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо

О₁А = r = 3х,
ОВ = R = 11х і
АВ = L = 17х.

Тоді з прямокутного трикутника АМВ

За умовою задачі об’єм зрізаного конуса 815π, отже,

Звідси х = 1 см, тоді

R = 11 см, r = 3 см, L = 17 см.

Повна поверхня зрізаного конуса:

S_повн = π[(R + r)L + R² + r²] =

π[(11 + 3)17 + 11² + 3²] = 368π см².

ВІДПОВІДЬ:

S_повн = 368π см².

Завдання до уроку 14

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 22 февраля 2018 г.