Урок 11. Об'єм зрізаної піраміди

суббота, 17 февраля 2018 г.

Урок 11. Об'єм зрізаної піраміди

Об'єм зрізаної піраміди дорівнює сумі об'ємів трьох пірамід, які мають висоту, однакову з висотою зрізаної піраміди, а основи: одна – нижню основу даної піраміди, друга – верхню, а третя – основу, площа якої дорівнює середньому геометричному площ верхньої і нижньої основ.

Нехай площі основ зрізаної піраміди дорівнюють F і f, а висота дорівнює h, тоді об'єм:

Правильна чотирикутна зрізана піраміда.

Правильна трикутна зрізана піраміда.

ЗАДАЧА:

Визначити об'єм правильної трикутної зрізаної піраміди, у якої сторони основ 30 і 20 м, а бічна поверхня дорівнює сумі площ основ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У правильній трикутній зрізаній піраміді

AB = 30 м, A₁B₁ = 20 м і

Позначимо сторони основи

АВ = а = 30 м,
А₁В₁ = а₁ = 20 м

і апофему піраміди NM = m, тоді за умовою маємо

або

Розглядаючи рівносторонні ∆ АВС і ∆ А₁В₁С₁, центри яких знаходяться в точках О і О₁, знайдемо ОN і О₁М як радіуси кіл, вписаних у ці трикутники:

З прямокутної трапеції O₁MNO (MK ⊥ ON) дістанемо

KN = ON – OK =
ON – O₁M,

або

Розглядаючи прямокутний ∆ MKN дістанемо висоту даної піраміди

Тоді об'єм даної піраміди

ВІДПОВІДЬ:

V = 1900 м³.

ЗАДАЧА:

Знайти об'єм правильної чотирикутної зрізаної піраміди, у якої сторони основ дорівнюють 4 см і 2 см, а бічна грань нахилена до площини основи під кутом 45°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На малюнку зображено правильну зрізану піраміду, що задано в умові,

A₁D₁ = 2 см,
AD = 4 см.

Площі основ

S = 4² = 16 (см²),
S₁ =2² = 4 (см²)

OK і O₁K₁ – радіуси кіл вписаних в основи,

O₁K₁ = ²/₂ = 1 (см),
OK = ⁴/₂ = 2 (см).

Проведемо K₁L паралельно до висоти

O₁O, K₁L = O₁O = h.

KL = KO – K₁O₁
= 2 – 1 = 1 (см).

∠ K₁KL – кут нахилу бічної грані до площини основи,

∠ K₁KL = 45° (за умовою).

Тоді ∆K₁KL – рівнобедрений,

KL = K₁L і
K₁L = 1 (см).

Отже:

Завдання до уроку 11

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 17 февраля 2018 г.