суббота, 10 февраля 2018 г.

Урок 7. Об’єм прямокутного паралелепіпеда

Розглянемо обсяг предмета, що має форму прямокутного паралелепіпеда. Моделлю паралелепіпеда може служити сірникова коробка, цегла.

Прямокутний паралелепіпед обмежений шістьма плоскими гранями, кожна з яких є прямокутником.

Шафа повністю вміщується в кімнату, коробка повністю вміщується у шафу. Кажуть, що об'єм кімнати більший за об'єм шафи, а об'єм шафи більший за об'єм коробки.

На малюнку зображено два прямокутні паралелепіпеди, які заповнені рівними кубиками.
У кожному паралелепіпеді по  36 кубиків. Ці паралелепіпеди мають рівні обсяги, або, кажуть, що їхня місткість однакова.

Рівні прямокутні паралелепіпеди мають рівні обсяги.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі обсягів його частин.

Як вимірюється обсяг прямокутного паралелепіпеда ? Для цього необхідно встановити одиницю вимірювання. За одиницю виміру обсягу приймається об'єм куба, сторона якого дорівнює якійсь одиниці довжини. Якщо довжина ребра куба дорівнює сантиметру, такий куб називається

кубічним сантиметром (см3),

якщо ребро дорівнює метру, то такий куб називається

кубічним метром (м3);

якщо – дециметру, 

кубічним дециметром (дм3)

і так далі.

Якщо виміри прямокутного паралелепіпеда виражені натуральним числом, його обсяг показує, скільки одиничних кубів потрібно, щоб заповнити його.

Виведемо правило обчислення обсягу прямокутного паралелепіпеда. Припустимо, що його виміри  5 см, 3 см, 4 см.
Будемо його заповнювати кубиками з ребром в  1 см. Якщо довжина і ширина однієї грані – називатимемо її основою прямокутного паралелепіпеда – 5 см  і  3 см, то на ній укластися  5 ∙ 3, тобто  15 кубиків. Щоб заповнити весь паралелепіпед, потрібно укласти  4  таких шари, так як висота паралелепіпеда дорівнює  4 см. Отже, число всіх кубиків буде:

15 4 = 60.

Об’єм одного кубика  1 см3, і, отже, об'єм прямокутного паралелепіпеда

1 см3 60 = 60 см3.

Отже, ми знайшли об’єм прямокутного паралелепіпеда як добуток трьох його вимірів:

5 3 4 (см3).

Маючи одиницю виміру, ми можемо обчислити об’єм прямокутного паралелепіпеда на підставі наступного правила.

Щоб обчислити об’єм прямокутного паралелепіпеда, треба виміряти однією і тією самою одиницею вимірювання його довжину, ширину і висоту та отримані числа перемножити.

Добуток вкаже, скільки кубічних одиниць міститься в об'ємі прямокутного паралелепіпеда.

ПРИКЛАД:

Якщо розміри прямокутного паралелепіпеда  (5 см, 4 см, 6 см), то об’єм дорівнюватиме:

5 см × 4 см × 6 см = 120 см3.

Якщо позначимо об’єм літерою  V, а виміри літерами  а, b, с, то отримаємо формулу:
Об'єм прямокутного паралелепіпеда, з ребрами а, b, і с, дорівнює добутку довжин цих ребер. 

Ця формула справедлива і тоді, коли виміри паралелепіпеда виражаються дробовими числами. При обчисленні за цією формулою слід стежити, щоб усі виміри були виражені однією і тією самою одиницею довжини.

ПРИКЛАД:

Виміри прямокутного паралелепіпеда  8 дм, 2,5 дм, 6 см. Обчислимо його об’їм.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виразимо всі виміри а дециметрах. Оскільки  6 см = 0,6 дм, то дістанемо:

V = 8 × 2,5 × 0,6 = 12 (дм3).

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добуткові площі його основи на висоту.
де  Sосн – площа основи прямокутного паралелепіпеда, h – висота прямокутного паралелепіпеда.

ЗАДАЧА:

Визначити об'єм прямокутного паралелепіпеда через площі його граней:

Q1, Q2, Q3.

РОЗВЯЗАННЯ:

Позначимо виміри паралелепіпеда через

x, y, z.

Тоді 

xy = Q1xz = Q2yz = Q3.

Помноживши праві і ліві частини цих рівнянь, одержимо

(xyz)2 = Q1Q2Q3

звідки
Застосування тригонометричних функцій до розв'язання стереометричних задач.

ЗАДАЧА:

В основі прямої призми лежить прямокутник, діагоналі якого утворюють між собою кут  φ. Діагональ однієї з бічних граней дорівнює  b  й утворює з площиною основи кут  α. Обчислити об'єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай основою прямої призми  

АВСDА1В1С1D1  

є прямокутник  АВСD, О – точка перетину діагоналей  АС  і  ВD  основи,  

АОВ = φ.
Протилежними бічними гранями призми є рівні прямокутники, діагоналі яких рівні. Вважатимемо спочатку, що задана діагональ  А1В  грані  АА1В1В. Оскільки  АА1 (АВС), то проекцією діагоналі  А1В  на площину основи є сторона  АВ. Згідно з умовою задачі,

А1ОВ = α, А1В = b.
З  А1АВ ( А = 90°),
АВ = А1В cos α = b cos α ,
АА1 = А1В sin α = b sin α.

Діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину діляться навпіл. Тому  OA = OB  і
З  BАD (А = 90°),
AD = AB tgАBD =
b cos α tg(90° – φ/2) =
b cos α ctg φ/2.

Тоді 

V =AD  AB  AA1 =
b cos α ctg φ/2  b cos α  b sin α
Якщо вважати заданою діагональ  A1D  грані  AA1D1D
то з  ∆ А1АD  одержимо: 

AD = b cos α
AA1 = b sin α.

Тоді з  BAD,

AB = AD ctg(90° – φ/2) 
b cos α tg φ/2  і
ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:

У прямокутному паралелепіпеді діагональ  d  утворює з площиною основи кут  α, а з площиною бічної грані – кут  β. Знайти об'єм паралелепіпеда.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай прямокутному паралелепіпеді  

АВСDА1В1С1D1  

діагональ  

В1D = d.
Оскільки  B1B(ABC), а  
B1C1(D1C1C), то  

B1DB  і  B1DC1 – 

це кути, які діагональ  B1D   утворює з площиною основи і з площиною бічної грані відповідно. Згідно з умовою,

B1DB = α  a  B1DC1 = β.
V = Sосн× H.
З  B1BD (B = 90°),
B1B = H = B1D sinD = d sin α,
BD = B1D cos α = d cos α. 
З   B1C1D (∠ C1 = 90°),
B1C1 = BC = B1D sinD = d sin β.
З   BCD (∠ C = 90°),
BC2+ CD2 = BD2,
d2sin2β + CD2 = d2sin2α.
Тепер находимо:

Sосн = BC×CD =
ВІДПОВІДЬ:
Завдання до уроку 7
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий