Урок 13. Об'єм конуса

среда, 21 февраля 2018 г.

Урок 13. Об'єм конуса

Побудуємо два багатокутники в площині основі конуса: багатокутник Р, що містить основи конуса, і багатокутник Р', що міститься в основі конуса. Побудуємо дві піраміди з основами Р и Р' й вершиною у вершині конуса. Перша піраміда містить конус, а друга піраміда міститься в конусі.

Як ми знаємо, існують такі багатокутники Р и Р', площі яких при необмеженому збільшенні числа їх сторін n необмежено наближаються до площі кругу в основі конуса.

За величину об'єму конуса приймають границю, до якої наближається об'єм правильної вписаної в конус (або описаної навколо нього) піраміди при необмеженому збільшенні числа її бічних граней.

Для таких багатокутників об'єми побудованих пірамід необмежено наближаються до

де S – площа основи конуса, а H – його висота. Відповідно до визначення звідси слідує:

Об'єм конуса дорівнює добутку площі основи на третину висоти.

ЗАДАЧА:

Висота і твірна конуса відносяться, як 35 : 37. Повна поверхня конуса дорівнює 588π см². Знайти об'єм конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо висоту конуса

Н = 45х, а твірну L = 37х.

Тоді радіус основи конуса

Повна поверхня конуса

S_повн = πR(R + L) =

12πx(12x + 37x) = 588πx²

і за умовою

588πx² = 588π.

Звідси х = 1, тоді

R = 12 см, Н = 35 см.

Об'єм конуса

ВІДПОВІДЬ:

V = 1680π см³≈ 5277,88 см³.

ЗАДАЧА:

Знайти об'єм конуса, якщо його осьовим перерізом правильний трикутник зі стороною 12 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай ∆QAB – осьовий переріз конуса,

QА = QВ = АВ = 12 см.

Тому радіус основи:

В ∆QOA висота:

Об’єм конуса:

Застосування тригонометричних функцій до розв'язання стереометричних задач.

ЗАДАЧА:

Різниця між твірною і висотою конуса дорівнює m, а кут між ними дорівнює α. Знайти об'єм конуса і обчислити його значення при

m = 5,8 см і α = 42°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дано конус SAB, у якого і

SA – SO = m, ∠ OSA= α.

Позначимо

AO = R і OS = H,

тоді об'єм конуса

V = ¹/₃πR²H.

З ∆ SAO знайдемо
H = R ctg α, тоді

V = ¹/₃πR³ctg α.

Для визначення R розглянемо ∆ AOC. В цьому трикутнику

AC = m,

∠ AOC = 90° – α,

∠ OCA = 180° – ∠ SCO =

180° – ¹/₂ (180° – α) = 90° +¹/₂ α, а

∠ AOC = 180° – ¹/₂ (180° – α) = ^α/₂, бо

∆ OSC за умовою задачі рівнобедрений (SO = SC). За теоремою синусів з ∆ AOC знаходимо

R = m ctg^α/₂.

Для обчислення об'єму конуса одержимо остаточну формулу

V = ¹/₃ m³ctg³^α/₂ ctg α (куб. од.).

При m = 5,8 см і α = 42° маємо з чотирма значущими цифрами

ctg^α/₂ = 2,605, ctg 42° = 1,111.

(m ctg^α/₂)³ = 3449,1.

V = 1277 cм³= 1,277 дм³.

ВІДПОВІДЬ: V = 1,277 дм³

ЗАДАЧА:

Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює α, проведено площину, яка утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об’єм конуса, якщо його твірна дорівнює а.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Нехай задано конус.

SО – його висота. Площина перерізу SАВ проходить через твірні SА і SВ, тоді ∠ АSВ = α.

SА = SВ = а.

Проведемо SМ ⊥ АВ. М – середина АВ, ∠ ASМ = ^α/₂. За теоремою про три перпендикуляри ОМ ⊥ АВ.

Тоді ∠ SМO – кут, який утворює площина перерізу з площиною основи.

∠ SМO = β.

З ∆ SMA (∠ М = 90°):

AM = SA sin∠ ASМ = a sin ^α/₂.

SM = SA cos∠ ASМ = a cos^α/₂.

З ∆ SOM (∠ O = 90°):

SO = SM sin∠ SМO = a cos ^α/₂sin β.

З ∆ SOA (∠ O = 90°):

OA² = SA²– SO² =

= a² – a²cos²^α/₂ sin² β =

= a²(1 – cos²^α/₂ sin² β).

V_к = ¹/₃ S_о∙ H = ¹/₃ πOA²∙ SO =

= ¹/₃ πa²(1 – cos²^α/₂ sin² β) ∙ a cos ^α/₂sin β =

= ¹/₃ πa³(1 – cos²^α/₂ sin² β) ∙ cos ^α/₂sin β

ВІДПОВІДЬ:

¹/₃ πa³(1 – cos²^α/₂ sin² β) ∙ cos ^α/₂sin β

ЗАДАЧА:

Знайдіть об'єм конуса, який утворює l видної з середини висоти конуса під кутом α.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Даний конус із твірною l.

РО – висота конуса, М – середина висоти.

РА видно з точки М під кутом α.

Об’єм конуса знаходимо за такою формулою:

V_конуса = ¹/₃ S_осн ∙ OP

Введемо позначення: замість ОР – Н, радіус основи конуса ОА – R.

Розв'язання задачі зводиться до знаходження площі основи конуса та його висоти.

S_осн = π ОА².

Трикутник АМО – прямокутний, кут

ОМА = π – α.

МО = R ∙ ctg (π – α) = –R∙ ctg α.

Н = 2МО = –2R∙ ctg α.

З трикутника РАО за теоремою Піфагора маємо

R² + (–2R∙ ctg α)² = l².

Ми знайшли радіус основи конуса, тепер знайдемо його висоту Н:

Об’єм конуса дорівнюватиме:

Завдання до уроку 13

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 21 февраля 2018 г.